Cholesky-Verfahren

Beispiel 1: Es ist das nebenstehende lineare Gleichungssystem (mit symmetrischer positiv definiter Koeffizientenmatrix) zu lösen.

Nach dem Start des Programms "Cholesky" wird für die Anzahl der linearen Gleichungen 5 eingetragen, als Eingabeschema wird "Matrixform" gewählt, weil das Gleichungssystem in dieser Form gegeben ist:

Das Eingabeschema für die Matrix ändert sich entsprechend, die Eingabe der Matrix erfolgt zeilenweise, jeweils am Hauptdiagonalelement beginnend. Wenn man die Eingabe mit der Enter-Taste oder der Tab-Taste abschließt, springt der Cursor automatisch in das nächste Eingabefeld. Die Felder unterhalb der Hauptdiagonalen sind nicht erreichbar, werden aber automatisch so belegt, dass die Matrix immer symmetrisch ist. Auch die Namen der Unbekannten (Voreinstellung: x1, x2, …) können geändert werden. Das ausgefüllte Eingabeschema sieht so aus:

Nach Anklicken des Buttons "Gleichungssystem lösen" erscheint das Ergebnis. Außerdem wird der Wert der Determinante der Koeffizientenmatrix ausgewiesen:

Bei erfolgreicher Lösung des Gleichungsystems werden zwei zusätzliche Angebote offeriert. Nach Anklicken des Buttons "Inverse" sieht man die Inverse der Koeffizientenmatrix:

Schließlich kann man auch noch die Cholesky-Zerlegung anfordern, die in Form der Rückmultiplikation R^TR = A mit Hilfe des so genannten Falkschen Schemas dargestellt wird:

Beispiel 2: Im Bereich Grundgleichungen der Finite-Elemente-Methode wird der Aufbau der Systemsteifigkeitsbeziehung an folgendem Beispiel demonstriert:

Für den nebenstehend skizzierten Träger mit stückweise konstanter Biegesteifigkeit soll die Biegeverformung berechnet werden.

Der Träger wird (wie in der Skizze angedeutet) in drei Elemente unterteilt, wobei vier Knoten entstehen, für die jeweils zwei Verformungsparameter (vertikale Absenkung und Biegewinkel) berechnet werden. Auf der Seite Aufbau der Systemsteifigkeitsbeziehung wird gezeigt, dass mit den gegebenen Zahlenwerten das nebenstehend zu sehende lineare Gleichungssystem entsteht.

Der Vektor der Unbekannten enthält für jeden der 4 Knoten die Absenkung v_i und den Biegewinkel φ_i. Weil für alle Zahlenwerte die Dimensionen der gegebenen Größen verwendet wurden, ergeben sich die Verschiebungen v_i in m, die Biegewinkel φ_i sind dimensionslos.

Nach dem Start des Programms "Cholesky" wird für die Anzahl der linearen Gleichungen 8 eingetragen, als Eingabeschema wird "Matrixform" gewählt, weil das Gleichungssystem in dieser Form gegeben ist. Nach der Eingabe aller Elemente des Gleichungssystems (es wurden auch die Namen der Unbekannten geändert) kann der Button "Gleichungssystem lösen" angeklickt werden, und das Ergebnis erscheint. Im folgenden Bildschirm-Schnappschuss sieht man das ausgefüllte Eingabeschema und das Ergebnis:

Beispiel 3: Im Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme" des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird folgende Aufgabe formuliert:

Für den skizzierten Rahmen sind die Verformungsgrößen an der Kraftangriffsstelle und an der Rahmenecke zu berechnen.

Das Problem wird mit der Methode der finiten Elemente gelöst. Wegen der Symmetrie (Abmessungen, Lagerung, Belastung) braucht nur eine Hälfte des Rahmens betrachtet zu werden (untere Skizze).

Im Lehrbuch wird gezeigt, dass man für die gesuchten Verformungsgrößen folgendes Gleichungssystem formulieren kann:

u_II ist die Horizontalverschiebung des Eckpunkts II, v_II und v_III sind die Vertikalverschiebungen der Knoten II bzw. III, φ_II ist der Biegewinkel an der Ecke II. Eine solche mit dem Finite-Elemente-Algorithmus formulierte Steifigkeitsbeziehung hat immer eine symmetrische positiv definite Koeffzientenmatrix, so dass das Gleichungssystem mit dem Cholesky-Verfahren gelöst werden kann. Nach dem Start des Programms "Cholesky" werden zunächst die gegebenen Größen als Konstanten definiert. Die Abbildung rechts zeigt das Fenster mit den definierten Konstante pi und e (sind vordefiniert) und alpha, beta und sa (sin α) und den beiden (gelben) Eingabefeldern, die für die Definition von ca (cos α) vorbereitet sind. Mit Klicken auf "Neue Konstante" wird die Konstantendefinition abgeschlossen.

Als Eingabeschema wird "Matrixform" gewählt (weil das Gleichungssystem in dieser Form gegeben ist), in das Feld für die Anzahl der Gleichungen wird 4 eingetragen. Nach Anklicken von "OK" ändert sich das Eingabeschema entsprechend, und man kann die einzelnen Matrixelemente und den Vektor der rechten Seite als Formeln eingeben, auch der Vektor der Unbekannten (Vorbelegung: x1, x2, …) kann dem aktuellen Problem angepasst werden. Wenn die Eingabe komplett ist, kann auf "Gleichungssystem lösen" geklickt werden, und Eingabeschema und Ergebnisbereich sollten so aussehen:

Es soll noch darauf hingewiesen werden, wie man Variantenrechnungen auf einfache Weise realisieren kann: Wenn das Problem mit einem geänderten Wert für α durchgerechnet werden soll, dann gibt man oben links im Konstanten-Bereich diese Konstante einfach noch einmal mit dem neuen Wert ein. Links sieht man, dass die Konstante alpha auf den Wert 30 geändert wurde. Weil nun die von alpha abhängigen Werte der Konstanten sa und ca nicht mehr dazu passen, erscheint oben das Angebot "… neu berechnen". Nach Anklicken dieses Button "passt wieder alles zueinander" (siehe Bild rechts).

Wenn nun erneut "Gleichungssystem lösen" gewählt wird, werden alle Werte des Eingabeschemas neu berechnet, und das geänderte Gleichungssystem wird gelöst.