Ein Anfangswertproblem wird beschrieben durch eine (gewöhnliche) Differenzialgleichung oder mehrere (gewöhnliche) Differenzialgleichungen (Differenzialgleichungssystem) und so genannten Anfangsbedingungen, die an genau einer Stelle Funktionswerte für die gesuchten Funktionen vorschreiben. Typische Vertreter sind die Bewegungs-Differenzialgleichungen, bei denen für einen Anfangszeitpunkt die Funktionswerte (Lage und Geschwindigkeiten) bekannt sind.
Differenzialgleichungen höherer Ordnung werden durch Einführen zusätzlicher Variablen in ein System 1. Ordnung überführt, so dass nur "Anfangswertprobleme 1. Ordnung" betrachtet werden müssen. Ein Anfangswertproblem 1. Ordnung mit nur zwei Differenzialgleichungen hat die allgemeine Form
Für die jeweils 1. Ableitung nach der Zeit t einer Wegkoordinate x und der Geschwindigkeit v sind die Funktionen f1 bzw. f2 bekannt, außerdem die "Anfangswerte" für x und v zu einem speziellen Zeitpunkt t0. Die Funktionen f1 und f2 können im allgemeinen Fall von t, x und v abhängig sein.
Beispiel:
Die skizzierte Masse m ist durch eine
Feder gefesselt und kann sich auf der horizontalen Führung
reibungsfrei bewegen. Sie ist durch eine (lineare) Feder gefesselt,
die im entspannten Zustand die Länge b hat.
Die Masse wird um xanf ausgelenkt
und zum Zeitpunkt t = 0
ohne Anfangsgeschwindigkeit freigelassen.
Nach den Standardverfahren der Technischen Mechanik kann die Bewegungs-Differenzialgleichung formuliert werden. Die Anfangsbedingungen für Weg x und Geschwindigkeit v = x' sind von der Aufgabenstellung vorgegeben (die übliche Schreibweise für die Ableitung nach der Zeit mit einem Punkt über der Variablen wird hier durch den "Ableitungsstrich" ersetzt, weil dieser auch bei der Eingabe von Differenzialgleichungen im Programm "Anfangswertprobleme" verwendet werden muss). Das Anfangswertproblem kann also so formuliert werden:
Durch Einführen einer neuen Variablen für die erste Ableitung von x entsprechend x' = v (v kann als Geschwindigkeit der Masse m interpretiert werden) wird aus dem Anfangswertproblem 2. Ordnung ein Anfangswertproblem 1. Ordnung:
In dieser Form kann es dem Programm "Anfangswertproblem" angeboten werden. Nach der Eingabe der beiden Differenzialgleichungen einschließlich der Anfangsbedingungen protokolliert das Programm dies folgendermaßen:
Vorab sollten alle Problemparameter (a, b, c, m, xanf) als Konstanten definiert werden.