Ebene Rahmen (FEM)

Falls das Java-Applet nicht startet, findet man hier hilfreiche Informationen.

Die nachfolgend zu sehenden Rahmen wurden entsprechend den nebenstehend gegebenen Empfehlungen berechnet. Die Berechnungen werden als "Bilderbuch" (Screenshots) demonstriert (auf das entsprechende Bild klicken, um zur Lösung zu kommen).
Beispiel 1: Die Aufgabe (8-fach statisch unbestimmter Rahmen) entstammt der 1. Auflage, wo sie mit dem Finite-Elemente-Baukasten FEMSET gelöst wurde.
Beispiel 2 (auf das Bild klicken): Vergleichsrechnung "Ideales Fachwerk und biegesteifes Tragwerk". Die Aufgabe entstammt dem Kapitel "Computer-Verfahren für Biegeprobleme" (auf das Bild klicken).
Beispiel 3 (aus dem Kapitel "Ebene Systeme starrer Körper"): Statisch bestimmtes Tragwerk, bestehend aus biegesteifen Elementen und Stäben. Es wird gezeigt, wie für statisch bestimmte Systeme die Lagerreaktionen und Schnittgrößen bestimmt werden können, ohne Zahlenwerte über Abmessungen, Belastungen und Materialeigenschaften zu kennen (auf das Bild klicken).

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Das ebene System kann aus zwei Typen von Elementen zusammengesetzt werden:

Biegeträger (biege- und dehnsteif), die auch eine linear veränderliche Linienlast (Trapezlast) tragen können, sind charakterisiert durch die beiden Knoten, an denen sie angeschlossen sind, eine Biegesteifigkeit EI > 0, eine Dehnsteifigkeit EA > 0 und die beiden Intensitäten der Linienlast an den Knoten qL und qR.
Stäbe (Stabelemente, dehnsteif), die nur über Gelenke mit dem übrigen System verbunden sind. Sie sind charakterisiert durch die beiden Knoten, an denen sie angeschlossen sind, und ihre Dehnsteifigkeit EA > 0.

Die Elemente können über (biegesteife) Knoten oder Gelenke verbunden sein, die grundsätzlich nur Kontakt zu den Enden der Elemente haben (ein Element kann nicht nachträglich durch einen Knoten geteilt werden):

Biegesteife Knoten verbinden alle angeschlossenen Biegeträger so, dass Verschiebungen und Biegewinkel gleich sind (es werden Normalkraft, Querkraft und Biegemoment übertragen). Stäbe sind an solchen Knoten nur gelenkig angeschlossen.
An Gelenken sind grundsätzlich alle Elemente und Stäbe gelenkig angeschlossen, so dass keine Biegemomente übertragen werden.

Folgende Strategie wird empfohlen (aber bevor Sie sich das alles durchlesen, sollten Sie einfach einmal probieren, es ist alles weitgehend selbsterklärend):

Einrichten der Zeichenfläche: Im Menü links oben wird die Registerkarte "Zeichenfläche" in den Vordergrund geholt. In dieser werden für x-min, y-min, x-max, y-max und für die Rasterweiten Raster-x und Raster-y die für das zu behandelnde Problem passenden Werte eingetragen (bei Mauseingabe werden alle Punkte auf dem Raster gefangen, Achtung: Das Raster startet immer bei x = 0. und y = 0., so dass gegebenenfalls die Randpunkte des gewählten Intervalls keine Rasterpunkte sind). Nach Klick auf "Übernehmen" ist das Raster der Zeichenfläche entsprechend geändert.
Eingabe der Knoten (dieser Punkt kann weggelassen werden, weil beim Erzeugen von Elementen, Lagern, Gelenken, Kräften und Momenten auch automatisch Knoten entstehen, sinnvoll ist dieses Angebot, wenn eine bestimmte Knotennummerierung erzeugt werden soll): Nach Anklicken des Angebots "Knoten" im Menü "Mauseingabe" am rechten Rand ändert die gepickte Fläche ihre Farbe und den Text, und es erscheint ein Knoten in der Zeichenfläche. Dieser kann mit der Maus zur gewünschten Position verschoben werden, wo er mit Mausklick fixiert wird. Danach kann sofort der nächste Knoten erzeugt werden (ohne erneut in das Menü zu gehen).
Eingabe von Elementen: Im Menü am rechten Rand werden die beiden Elementtypen angeboten. Nach Anklicken eines der beiden Angebote erscheint ein Elementsymbol in der Zeichenfläche, bei dem einer der beiden Knoten rot gezeichnet ist. Durch Bewegen der Maus kann dieser Knoten an den gewünschten Punkt auf dem Raster verschoben werden (man kann die Koordinaten bei der Mausbewegung in der Registerkarte "Knoten" im Menü links verfolgen). Nach Mausklick ist dieser Knoten fixiert, der andere wird rot und kann nun verschoben werden. Wenn auch dieser Knoten durch Mausklick fixiert wurde, ist das erste Element definiert. Damit hat dieses Element zunächst allerdings Standardwerte für die Biegesteifigkeit EI, die Dehnsteifigkeit EA und die Linienlastintensitäten qL bzw. qR am linken bzw. rechten Elementrand (Stabelemente haben nur den Standardwert für die Dehnsteifigkeit EA), die in der Registerkarte links (farblich unterlegt) angezeigt werden. Diese sollten sofort auf die korrekten Werte geändert werden.

Danach muss unbedingt der unter den Eingabefeldern liegende Button "Eingabe Element" angeklickt werden, damit die neuen Werte übernommen werden. Der Vorgang wird für alle weiteren Elemente wiederholt (Klicken auf das Elementsymbol im Menü "Mauseingabe" rechts und Fixieren der beiden Elementknoten). Als neue Vorschläge für die Biegesteifigkeit und die Dehnsteifigkeit bietet das Programm stets die zuletzt eingegebenen Wert an, so dass bei konstanten Querschnitten nur noch die Linienlastintenitäten gegebenenfalls angepasst werden müssen.
Eingabe von Gelenken (falls vorhanden): Nach Anklicken des Angebots "Gelenk" im Menü "Mauseingabe" am rechten Rand ändert die gepickte Fläche ihre Farbe und den Text, und es erscheint ein Gelenk in der Zeichenfläche. Dieses kann mit der Maus zur gewünschten Position verschoben werden, wo es mit Mausklick fixiert wird.
Eingabe von Lagern: Im Menü "Lager" am rechten Rand wird auf ein gewünschtes Lagersymbol geklickt (es werden mehr Symbole angeboten, als aus Sicht der Mechanik erforderlich sind, um eine übersichtliche Graphik zu ermöglichen). Mit der Maus wird das Lager bis zum gewünschten Knoten verschoben und dort mit Mausklick fixiert.
Eingabe von Kräften und Momenten: In den Menüs "Kraft" bzw. "Moment" am rechten Rand wird auf ein gewünschtes Symbol geklickt. Mit der Maus werden die Kraft bzw. das Moment bis zum gewünschten Knoten verschoben und dort mit Mausklick fixiert. Zunächst werden die Kräfte bzw. Momente als Einheitslasten angenommen, was links in der Registerkarte "Knoten" zu sehen ist (nach oben bzw. rechts gerichtete Kräfte und linksdrehende Momente erscheinen mit positivem Vorzeichen). Man kann diese Werte sofort oder gegebenenfalls später auf einen beliebigen Wert ändern, wobei das Anklicken des Buttons "Eingabe Knoten" erforderlich ist, um die Änderung zu übernehmen.
Vorgeschriebene Verformungen (Verschiebungen horizontal bzw. vertikal und Biegewinkel) können an jedem Knoten vorgesehen werden. Dies kann unmittelbar nach dem Erzeugen eines Knotens realisiert werden, oder man wählt über die Registerkarte "Knoten" (links oben) die gewünschte Knotennummer an. Danach müssen die gewünschten Werte in die Felder "vx-erzwungen", "vy-erzwungen" bzw. "phi-erzwungen (Rad)" eingetragen werden (ein Wert ungleich 0 charakterisiert eine vorgeschriebene Verformung, eine 0 eine entsprechende Lagerung, nur bei einem leeren Feld ist eine freie Verformung möglich).
Berechnen: Wenn alle Elemente, Knoten, Gelenke, Lager, Kräfte und Momente definiert sind, kann durch Anklicken des grünen Buttons im linken Menü die Berechnung gestartet werden. Als Ergebnisse werden neben den Graphiken "Berechnungsmodell", "Verformtes System", "Biegemoment", "Lagerreaktionen", "Normalkraft" und "Querkraft" zunächst die Knotenverformungen (Verschiebungen - postiv nach rechts bzw.oben - und Biegewinkel) ausgegeben, über die entsprechenden Angebote (unten rechts) kann man auf die Ausgabe der Schnittgrößen bzw. Lagerreaktionen umschalten. Nach Klicken auf eine der sechs Graphiken wird diese groß dargestellt und kann über die Angebote im Menü unten links modifiziert werden.
Änderung des Berechnungsmodells: In den Registerkarten "Knoten" bzw. "Elemente" im Menü links kann man über "Knoten-Nr." bzw. "Element-Nr." zu den Daten für alle Knoten und Elemente kommen, die beliebig geändert werden können. Für die Knoten sind es die Koordinaten (können auch auf Werte geändert werden, die nicht auf dem Raster liegen), die Kräfte, Momente und die vorgeschriebenen Verformungen, für die Elemente die Biege- und Dehnsteifigkeit und die Linienlastintensitäten, die modifiziert werden können. Man kann auch aus biegesteifen Elementen Stäbe machen und umgekehrt. Es können auch einzelne Elemente gelöscht werden. Beim Löschen von Knoten ist zu beachten, dass immer auch alle angeschlossenen Elemente beim Löschen eines Knotens verschwinden.
Änderung der Zeichnung: Über die Menüangebote unten links, die selbsterklärend sein dürften, kann die Zeichnung auf dem Bildschirm geändert werden.

Haftungsausschluss: Das Applet wurde vom Autor mit der gebotenen Sorgfalt programmiert. Natürlich gibt es keine Garantie für Fehlerfreiheit. Jede Art von Haftung für falsche Ergebnisse ist ausgeschlossen.

Biege- und dehnsteife ebene Rahmen (FEM)