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Symmetrisches Matrizeneigenwertproblem

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Es kann das allgemeine Matrizeneigenwertproblem (A - λ Bx = o mit symmetrischen Matrizen A und B gelöst werden (A und B sind Matrizen mit n Zeilen bzw. Spalten). Das Eingabeschema unten ist zunächst für die Lösung eines speziellen Matrizeneigenwertproblems mit B = E (E ist die Einheitsmatrix) mit n = 3 Zeilen/Spalten eingerichtet. Bitte an das zu lösende Problem mit der nachfolgenden Auswahl anpassen:

Eingabeschema für ein ... ... spezielles Matrizeneigenwertproblem
... allgemeines Matrizeneigenwertproblem
Zeilen-/Spalten-Anzahl der Matrizen: n =
 

Jede Eingabe darf ein arithmetischer Ausdruck sein, der Zahlen, öffnende und schließende Klammern ([{}]), die Symbole für die vier Grundrechenarten + - * / und das Potenzieren ^, die Namen bereits definierter Konstanten (siehe oben links) und Standardfunktionen (mit Argumenten in Klammern) enthalten darf. Man kann bei Bedarf weitere Konstanten über die beiden gelben Eingabefelder (oben links) definieren.

Bei Arbeit mit Winkelfunktionen werden die Winkel in Grad
Radian
interpretiert.
Die Einstellung Grad bzw. Radian gilt für die Interpretation des Arguments aller Winkelfunktionen (sin, cos, tan). Bei Verwendung der Arcusfunktionen (asin, acos, atan) wird das Ergebnis entsprechend dieser Einstellung abgeliefert.
Klicken öffnet ein Fenster mit ergänzenden Informationen
ZAHLEN können (optional) ein Vorzeichen, einen Dezimalpunkt und einen Exponenten (gegebenenfalls auch mit einem Vorzeichen) enthalten, Beispiele korrekter Zahlen:

-2.1E-5     5120     .3125     0.001

Beispiel 1 Beispiel 1: Im Kapitel 19 des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird folgende Aufgabe formuliert:

Für den aus einem Quader und einem Würfel zusammengesetzten homogenen Körper sollen die Lage der Hauptzentralachsen und die zugehörigen Hauptträgheitmomente ermittelt werden.

Gegeben:  a ,  Dichte ρ .

Nach einigen (recht mühsamen) Vorarbeiten (Berechnung der Lage des Schwerpunkts und Berechnung aller Trägheitsmomente bezüglich des eingezeichneten Schwerpunktkoordinatensystems) kann der Trägheitstensor bezüglich des x-y-z-Koordinatensystems aufgeschrieben werden (enthät die drei Massenträgheitsmomente Jxx, Jyy und Jzz und die drei Deviationsmomente Jxy, Jxz und Jyz):

Trägheitstensor

Die Eigenwerte dieser Matrix sind die Hauptträgheitmomente, ihre Eigenvektoren definieren die Lage der Hauptzentralachsen. Hier findet man die komplette Rechnung mit dem Programm "Symmetrisches Matrizeneigenwertproblem".

Beispiel 2: Im Kapitel 32 des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird folgende Aufgabe formuliert:

Beispiel 2 Für das skizzierte Getriebe mit fünf (starren) Rädern und drei (masselosen) Torsionsfedern (Wellenabschnitte) soll das Matrizeneigenwertproblem für die Berechnung der Eigenkreisfrequenzen der Torsionsschwingungen formuliert werden. Es darf vorausgesetzt werden, dass die beiden Zahnräder mit den Massenträgheitsmomenten J2 und J3 und den Teilkreisradien r2 und r3 spielfrei miteinander kämmen.

Gegebene Werte

Das Schwingungs-Differenzialgleichungssystem führt nach nicht sehr schwieriger Rechnung auf folgendes Matrizeneigenwertproblem:

Matrizeneigenwertproblem für den Torsionsschwinger

Die Eigenwerte dieses allgemeinen Matrizeneigenwertproblems sind also dem Quadrat der Eigenkreisfrequenzen proportional. Hier findet man die komplette Rechnung mit dem Programm "Symmetrisches Matrizeneigenwertproblem".

Beispiel 3 Beispiel 3: Im Kapitel 23 des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird folgende Aufgabe formuliert:

Der skizzierte Stab ist nur durch sein Eigengewicht belastet. Es soll ermittelt werden, bei welcher kritischen Länge er allein durch die Eigengewichts-Belastung knickt.

Gegeben:   EI ,   Dichte ρ ,   Querschnittsfläche A .

Die Lösung wird mit dem Differenzenverfahren erreicht: Der Stab wird in nA äquidistante Abschnitte unterteilt, es entstehen nA − 1 Punkte im Inneren des Stabs, für die die Differenzenformeln aufgeschrieben werden. In diese Gleichungen gehen auch die Rand- und Außenpunkte ein, die mit Hilfe der Randbedingungen eliminiert werden können.

Dieser Weg wird im Lehrbuch ausführlich beschrieben. Nach etwas mühsamer (aber nicht sehr schwieriger) Rechnung entsteht ein Matrizeneigenwertproblem. Für nA = 8 sieht es zum Beispiel so aus:

Matrizeneigenwertproblem

Nach der Lösung dieses Matrizeneigenwertproblems kann aus dem kleinsten Eigenwert die kritische Länge berechnet werden. Hier findet man die komplette Beschreibung der Lösung des Problems mit dem Programm "Symmetrisches Matrizeneigenwertproblem".

Beispiel 4: Ein weiteres Beispiel (Eigenschwingungen eines Biegeträgers mit der Finite-Elemente-Methode), das mit dem Programm "Symmetrisches Matrizeneigenwertproblem" berechnet wurde, findet man im Bereich "Mathematik für die Technische Mechanik" auf der Seite "Eigenschwingungen eines Biegeträgers".

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