Elastisch gebettete Biegeträger (FEM)

Aufgabe aus dem Kapitel "Spezielle Biegeprobleme":

Die auf elastischem Untergrund liegenden Schwellen eines Schienenweges werden wie skizziert über die Schienen durch zwei Kräfte F belastet.

Das Problem wird mit dem Java-Applet "Elastisch gebetteter Träger (FEM)" gelöst. Nachfolgend werden die empfohlenen Schritte dokumentiert:

1. Mit diesem Beispiel soll auch gezeigt werden, wie man vorgehen kann, wenn keine Zahlenwerte gegeben sind. Wenn, wie in diesem Beispiel, alle Längen, alle Belastungen, alle Biegesteifigkeiten und Bettungsziffern durch jeweils eine Länge, eine Belastung und eine Steifigkeit ausgedrückt werden können, dann sollten diese "Bezugsgrößen" für die Rechnung den Wert 1 bekommen, so dass für diese Aufgabe mit folgenden (dimensionslosen) Eingabewerten gerechnet wird:
   
   
   l = 1  ;  F = 1  ;   EI = 1  ;  a = 0.25   ;   k = 2 .
   
   Die damit ermittelten Ergebnisse sind zunächst auch dimensionslose Werte. Die dimensionslosen Verschiebungen sind mit Fl ³/(EI), die dimensionslosen Biegewinkel mit Fl ²/(EI), die dimensionslosen Biegemomente mit Fl und die dimensionlosen Querkräfte mit F zu multiplizieren, um zu den "normalen" dimensionsbehafteten Größen zu kommen.
   
   
2. Nach dem Start des Applets (und Doppelklick in den Mittelbereich) wird die Zeichenfläche vorbereitet. Für den Träger mit der Gesamtlänge 2 wird dieser Wert für x-max eingestellt, es wird eine Rasterbreite von 0.25 gewählt, so dass die Kraftangriffspunkte auf das Raster fallen. Dies wird über die Registerkarte "Zeichenfläche" in dem Register links oben erledigt: Registerkarte "Zeichenfläche" in den Vordergrund holen und Werte für x-max und Raster-x eingeben. Nach Anklicken von "Übernehmen" sieht die Zeichenfläche so aus:
   
   
   
   
   
3. Elemente erzeugen: Weil der gesamte Träger konstante Biegesteifigkeit hat und durchgängig mit konstanter Bettungsziffer gebettet ist (und keine Linienlasten trägt), braucht nur ein Element erzeugt zu werden (dieses wird vom Programm bei der nachfolgenden Eingabe der Kräfte automatisch in mehrere Elemente unterteilt). Nach Anklicken des Angebots ganz rechts oben im Menü "Mauseingabe" am rechten Rand (Element ohne Linienlast) ändert die gepickte Fläche ihre Farbe. Der Text "Element" ändert sich ("Knoten 1 picken"), und es erscheint ein Element in der Zeichenfläche:
   
   
   
   
   
4. Der rot gezeichnete Knoten wird mit der Maus bis zur Koordinate 0 geführt und dort durch Klicken fixiert (bei der Mausbewegung wird die jeweils aktuelle Koordinate in der Registerkarte "Knoten" im linken Menü angezeigt). Danach wird der andere Knoten rot und kann zur Koordinate 2 (rechter Rand des Trägers) geführt und dort durch Klick fixiert werden. Damit ist ein Element erzeugt, zunächst mit Standardwerten für die Biegesteifigkeit EI (1.0), die Linienlastintensitäten an den Elementrändern (jeweils 0.0) und die Bettungsziffer k (0.0) die in der Registerkarte links (farblich unterlegt) angezeigt werden. Diese sollten sofort auf die korrekten Werte geändert werden. Hier ist nur die Bettungsziffer k auf den Wert 2 zu verändern. Danach muss unbedingt der unter den Eingabefeldern liegende Button "Eingabe Element" angeklickt werden, damit die neuen Werte übernommen werden:
   
   
   
   
   
5. Kraft erzeugen: Nach Anklicken des entsprechenden Angebots rechts unten im Menü "Mauseingabe" am rechten Rand (nach unten gerichteter Kraftpfeil) ändert die gepickte Fläche ihre Farbe. Der Text "Kraft" ändert sich ("Punkt picken"), und es erscheint ein Kraftpfeil in der Zeichenfläche:
   
   
   
   
   
6. Der Kraftpfeil wird mit der Maus bis zur Koordinate 0.25 geführt und dort durch Klicken fixiert (bei der Mausbewegung wird die jeweils aktuelle Koordinate in der Registerkarte "Knoten" im linken Menü angezeigt). Damit ist eine Kraft mit dem Standardwert 1.0 erzeugt, der in der Registerkarte links (farblich unterlegt) angezeigt wird. Dieser sollte sofort auf den korrekten Wert geändert werden. In diesem Fall ist keine Aktion erforderlich. Das unter der Skizze zu sehende Eingabeprotokoll zeigt, dass der Träger in zwei Elemente zerlegt wurde:
   
   
   
   
   
7. Auf gleiche Weise wird die zweite Kraft erzeugt. Das Berechnungsmodell ist nun komplett:
   
   
   
   
   
8. Nach Anklicken des grünen Buttons "Berechne" im linken Menü wird die Berechnung gestartet, Biegelinie, Biegemoment- und Querkraftverlauf werden graphisch dargestellt, und die Knotenabsenkungen v und die Biegewinkel φ an den Knoten werden gelistet: