Beispiel 2
Biegeträger

Ein gerader Träger mit abschnittsweise konstanter Biegesteifigkeit ist am linken Rand starr eingespannt, außerdem durch eine Feder und ein Loslager und im linken Abschnitt auf einer elastischen Unterlage (mit konstanter Bettungsziffer k) gelagert. Er ist durch ein Moment und eine Linienlast belastet.

Gegeben:
a = 500 mm ;  b = 700 mm ;   q = 10 N/mm ;  M = 8 · 105 Nmm ;
EI1 = 6 · 109 Nmm2 ;   EI2 = 8 · 1010 Nmm2 ;   c = 800 N/mm ;  k = 12 N/mm2 .

Man berechne die Biegelinie, den Biegemomenten- und den Querkraftverlauf speziell die Werte für die Durchbiegungen an der Feder, die Federkraft und die Biegemomente an der Einspannstelle und an der Feder.
Das Beispiel wurde der Aufgabensammlung zur Festigkeitslehre entnommen. Es wird dort analytisch (exakt), mit dem Differenzenverfahren und mit Matlab-Femset gelöst.

Das Problem wird mit dem Java-Applet "Elastisch gebetteter Träger (FEM)" gelöst. Nachfolgend werden die empfohlenen Schritte dokumentiert:

  1. Weil alle in der Aufgabenstellung gegebenen Werte nur die Einheiten mm und N verwenden, können die Zahlenwerte direkt für die Eingabe übernommen werden. Die Ergebnisse haben dann auch diese Einheiten.

  2. Nach dem Start des Applets (und Doppelklick in den Mittelbereich) wird die Zeichenfläche vorbereitet. Für den Träger mit der Gesamtlänge 1200 mm wird dieser Wert für x-max eingestellt, es wird eine Rasterbreite von 100 mm gewählt, so dass der Punkt, an dem die Feder angreift, ein Rasterpunkt ist. Dies wird über die Registerkarte "Zeichenfläche" in dem Register links oben erledigt: Registerkarte "Zeichenfläche" in den Vordergrund holen und Werte für x-max und Raster-x eingeben. Nach Anklicken von "Übernehmen" sieht die Zeichenfläche so aus:

    Vorbereiten der Zeichenfläche

  3. Elemente erzeugen: Zunächst wird ein Element ohne Linienlast erzeugt. Nach Anklicken des Angebots ganz rechts oben im Menü "Mauseingabe" am rechten Rand ändert die gepickte Fläche ihre Farbe. Der Text "Element" ändert sich ("Knoten 1 picken"), und es erscheint ein Element in der Zeichenfläche:

    Ein Element erscheint in der Zeichenfläche

  4. Der rot gezeichnete Knoten wird mit der Maus bis zur Koordinate 0 geführt und dort durch Klicken fixiert (bei der Mausbewegung wird die jeweils aktuelle Koordinate in der Registerkarte "Knoten" im linken Menü angezeigt). Danach wird der andere Knoten rot und kann zur Koordinate 500 geführt und dort durch Klick fixiert werden. Damit ist ein Element erzeugt, zunächst mit Standardwerten für die Biegesteifigkeit EI (1.0), die Linienlastintensitäten an den Elementrändern (jeweils 0.0) und die Bettungsziffer k (0.0) die in der Registerkarte links (farblich unterlegt) angezeigt werden. Diese sollten sofort auf die korrekten Werte geändert werden. Hier sind nur die Biegesteifigkeit EI auf den Wert 6 · 109 (einzugeben als 6e9) und die Bettungsziffer k auf den Wert 12 zu verändern. Danach muss unbedingt der unter den Eingabefeldern liegende Button "Eingabe Element" angeklickt werden, damit die neuen Werte übernommen werden:

    Eingabe eines elastisch gebetteten Elements

  5. Der Vorgang wird für ein Element mit Linienlast wiederholt (Klicken auf das untere der beiden Symbole im Angebot "Element" rechts oben und Fixieren der beiden Knoten bei 500 bzw. 1200). Als neuer Vorschlag für die Biegesteifigkeit bietet das Programm stets den Wert des vorher eingegebenen Elements an, so dass sich bei konstanten Parametern für alle Elemente die Eingabe vereinfacht. In diesem Fall müssen mehrere der in der Registerkarte "Element" farblich unterlegten Elementparameter geändert werden, weil die Standardwerte nicht zur Aufgabenstellung passen. Nach Eingabe von 8e10 für EI und 0 für qL (Linienlastintensität am linken Elementrand) bzw. 10 für qR (Linienlastintensität am rechten Elementrand) und Anklicken von "Eingabe Element" sieht die Zeichenfläche so aus:

    Zwei Elemente wurden erzeugt

  6. Lager eingeben: Zunächst wird die Einspannung am linken Rand erzeugt: Nach Anklicken des entsprechenden Angebots rechts unten im Menü "Mauseingabe" am rechten Rand (Symbol unter dem Feld "Lager") ändert die gepickte Fläche ihre Farbe. Der Text "Lager" ändert sich ("Punkt picken"), und es erscheint das Symbol für die Einspannung in der Zeichenfläche:

    Das Symbol für die Einspannung erscheint in der Zeichenfläche

  7. Das Lagersymbol wird mit der Maus bis zur Koordinate 0 geführt und dort durch Klicken fixiert (bei der Mausbewegung wird die jeweils aktuelle Koordinate in der Registerkarte "Knoten" im linken Menü angezeigt). Auf gleiche Weise wird das Loslager am rechten Rand definiert. Nach dem Fixieren des Symbols sieht die Zeichenfläche so aus:

    Die beiden Lager wurden definiert

  8. Moment erzeugen: Nach Anklicken des entsprechenden Angebots rechts unten im Menü "Mauseingabe" am rechten Rand (linksdrehendes Moment) ändert die gepickte Fläche ihre Farbe. Der Text "Moment" ändert sich ("Punkt picken"), und es erscheint ein Momentenpfeil in der Zeichenfläche. Dieser wird mit der Maus zum rechten Randpunkt geführt und dort mit Mausklick fixiert. Der Betrag des Moments wird zunächst mit 1 angenommen (ist im folgenden Bild im Protokoll des Berechnungsmodells in der Zeichenfläche noch zu sehen). Dieser Wert sollte sofort auf den korrekten Wert korrigiert werden (im farblich unterlegten Feld im linken Eingabemenü). Der geänderte Wert wird erst übernommen, wenn der Button "Eingabe Knoten" gedrückt wurde (die Return-Taste tut es auch). Das folgende Bild zeigt schon den geänderten Wert für M im Eingabefeld (8e5) unmittelbar vor Anklicken des Buttons "Eingabe Knoten":

    Eingabe des Moments

  9. Feder erzeugen: Die Feder wird wie das Moment erzeugt. Auch hier wird nach dem Fixieren zunächst der Wert 1 für die Federsteifigkeit angenommen, der sofort korrigiert werden sollte. Das folgende Bild zeigt schon den geänderten Wert für c im Eingabefeld (800) unmittelbar vor Anklicken des Buttons "Eingabe Knoten":

    Eingabe der Feder

  10. Das Berechnungsmodell ist nun komplett und kann mit der graphischen Darstellung und dem darunter gelisteten Protokoll kontrolliert werden:

    Das Berechnungsmodell ist komplett

  11. Nach Anklicken des grünen Buttons "Berechne" im linken Menü wird die Berechnung gestartet, Biegelinie, Biegemoment- und Querkraftverlauf werden graphisch dargestellt, und die Knotenabsenkungen v und die Biegewinkel φ an den Knoten werden gelistet:

    Ergebnisse: Knotenverformungen und graphische Darstellung

  12. Über die Angebote unten rechts kann man noch die Liste anderer Ergebnisse anfordern. Nach Anklicken von "Schnittgrößen" werden deren Werte elementweise ausgegeben, weil sie an den Knoten unterschiedliche Werte haben können. Am Knoten 2 unterscheiden sich die Querkräfte am rechten Rand des Elements 1 und am rechten Rand des Elements 2 um die Größe der Federkraft:

    Ergebnisse: Schnittgrößen

  13. Schließlich kann man noch über den Button "Lagerreaktionen" die Lagerkräfte, das Einspannmoment und die Federkraft listen lassen:

    Ergebnisse: Lagerreaktionen

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