Beispiel 1
8-fach statisch unbestimmter Rahmen

Der nebenstehend skizzierte 8-fach statisch unbestimmte Rahmen hat konstante Biege- und Dehnsteifigkeit und ist durch eine Linienlast, eine Einzelkraft und ein Einzelmoment belastet.

Alle Abmesssungen sind in mm, die Kraft in N, das Moment in Nmm, die Linienlast in N/mm, die Biegesteifigkeit in Nmm2 und die Dehnsteifigkeit in N angegeben.

Das Problem wird mit dem Java-Applet "Biege- und dehnsteife ebene Rahmen (FEM)" gelöst. Nachfolgend werden die empfohlenen Schritte dokumentiert:

  1. Festlegen der Dimensionen für Länge und Kraft (müssen einheitlich sein für alle Eingabewerte, die Ergebnisse erhält man dann auch in den gewählten Dimensionen). Weil in der Aufgabenstellung nur mm und N gegeben sind, können die Zahlenwerte ungeändert übernommen werden. Die Ergebnisse haben dann auch diese Dimensionen.

  2. Nach dem Start des Applets (und Doppelklick in den Mittelbereich) wird die Zeichenfläche vorbereitet. Für den Rahmen mit einer Breite von 1500 mm und einer Höhe von 1000 mm wird hier sinnvollerweise mit einer Rasterbreite in x-Richtung von 1500 mm (es gibt keine Zwischenpunkte) und in y-Richtung von 100 mm gearbeitet, so dass alle markanten Punkte getroffen werden. Dies wird über die Registerkarte "Zeichenfläche" in dem Register links oben erledigt:

    Vorbereiten der Zeichenfläche

  3. Knoten erzeugen (dieser Punkt kann weggelassen werden, weil beim Erzeugen von Elementen, Lagern, Kräften und Momenten auch automatisch Knoten entstehen, wird hier aber benutzt, um genau die Knotennummerierung der Aufgabenstellung zu erzeugen): Nach Anklicken des Angebots "Knoten" im Menü "Mauseingabe" am rechten Rand ändert die gepickte Fläche ihre Farbe und den Text, und es erscheint ein Knoten in der Zeichenfläche:

    Bild nach Anpicken des Angebots 'Knoten'

  4. Der Knoten wird mit der Maus bis zum Punkt (0,0) bewegt (er "springt" dabei von Rasterpunkt zu Rasterpunkt) und dort durch Mausklick als Knoten 1 fixiert. Das Programm bleibt danach im Zustand "Knoten picken", so dass (in der gewünschten Reihenfolge) alle weiteren Knoten erzeugt werden können, bis die Zeichenfläche so aussieht (6 Knoten auf den Rasterpunkten, darunter das Eingabeprotokoll):

    Alle Knoten wurden erzeugt

  5. Elemente erzeugen: Nach Anklicken des Angebots "Element (Biegung)" im Menü "Mauseingabe" am rechten Rand ändert die gepickte Fläche ihre Farbe und den Text (in "Knoten 1 picken") und es erscheint ein Element in der Zeichenfläche:

    Nach Klick auf 'Element (Biegung)' erscheint ein Element in der Zeichenfläche

  6. Der rot gezeichnete Elementknoten wird mit der Maus bis zum Knoten 1 geführt und dort durch Klicken fixiert. Danach wird der andere Stabknoten rot und kann zu dem anderen Knoten geführt und dort durch Klick fixiert werden. Damit ist Element 1 erzeugt, zunächst mit Standardwerten für die Biegesteifigkeit und die Dehnsteifigkeit und ohne Linienlast, was in der Registerkarte links (farblich unterlegt) und im Eingabeprotokoll angezeigt wird:

    Ein Element (mit Standardwerten) ist erzeugt worden

  7. Die Biegesteifigkeit wird auf den Wert 15 · 107 geändert (wird als 15e7 eingegeben), die Dehnsteifigkeit auf den Wert 2 · 107). Da das Element auch durch eine Linienlast belastet wird, werden auch Eintragungen in die Felder "Linienlast links qL" und "Linienlast rechts qR" vorgenommen. Als "links" gilt der bei der Elementeingabe als erster festgelegte Knoten. Als Vorzeichenregel gilt: Wenn man vom linken zum rechten Knoten "wandert", zeigen die Pfeilspitzen positiver Linienlasten nach links (aber wenn man da etwas falsch macht, sieht man es nach der Eingabe sofort an der Graphik und kann korrigieren). Hier müssen also für die beiden Linienlastintensitäten qL = -0.02 bzw. qR = -0.04 eingegeben werden. Danach muss unbedingt der unter den Eingabefeldern liegende Button "Eingabe Element" angeklickt werden, damit die neuen Werte übernommen werden:

    Element wurde mit Biegesteifigkeit, Dehnsteifigkeit und Linienlast definiert

  8. Der Vorgang wird für alle weiteren Elemente wiederholt (Klicken auf "Element" im Menü "Mauseingabe" rechts und Fixieren der beiden Elementknoten). Als neue Vorschläge für die Biegesteifigkeit und die Dehnsteifigkeit bietet das Programm stets die Werte des vorher eingegebenen Elements an, für die Linienlastintensitäten ist die Null das Standardangebot, so dass bei konstanten Steifigkeiten für alle Elemente (wie im vorliegenden Fall) nur noch einmal für das Element 2 die Linienlasten angepasst werden müssen. Nach Eingabe aller Elemente wird ein Symbol für eine starre Einspannung im rechten Menü "Mauseingabe" angeklickt, und das gewählte Symbol erscheint in der Zeichenfläche:

    Knoten und Elemente sind erzeugt, das erste Lager erscheint

  9. Als Knotennummer für das Lager wird zunächst 7 (neuer Knoten) vermutet, nachdem das Lager aber mit der Maus zum Knoten 1 verschoben und dort mit Mausklick fixiert wurde, wird die Knotennummer 1 übernommen. Auf gleiche Weise wird das Festlager am Knoten 6 erzeugt. Danach wird ein Symbol für eine horizontale Kraft angeklickt, und das Kraftsymbol erscheint in der Zeichenfläche:

    Knoten, Elemente und Lager sind erzeugt, eine Kraft erscheint

  10. Nachdem das Kraftsymbol am Knoten 5 mit Mausklick fixiert wurde, wird links in der Registerkarte "Knoten" der Standardwert für eine horizontale Kraft angezeigt (1), der sofort auf den Wert 20 geändert werden sollte. Wie bei den Elementparametern gilt auch hier: Unbedingt danach auf "Eingabe Knoten" klicken, damit der geänderte Wert auch übernommen wird:

    Eingabe einer Kraft

  11. Auf entsprechende Weise wird das Moment am Knoten 4 erzeugt. Damit ist das Berechnungsmodell komplett:

    Berechnungsmodell ist komplett

  12. Man sollte die Graphik und das Eingabeprotokoll noch einmal kontrollieren. Alle Knoten und Elemente können über die beiden Registerkarten links oben noch einmal angesteuert und alle eingegebenen Werte korrigiert werden. Nach Anklicken des grünen Buttons "Berechne" im linken Menü wird die Berechnung gestartet, die Ergebnisse werden in mehreren Graphiken angezeigt, und die Knotenverformungen werden gelistet:

    Überblick über die berechneten Ergebnisse

  13. Die kleinen Bildchen sind etwas unübersichtlich, dienen aber im Wesentlichen zur Auswahl: Klicken auf eines der Bildchen zeigt diese Graphik groß an. In dieser Anzeigen sind dann alle Angebote zur Veränderung der Graphik (unten links) verfügbar.

    Rechts unten wird die Umschaltung der Liste auf weitere Ergebnisse angeboten. Zunächst wird auf "Lagerreaktionen" geklickt, und es wird auch die Graphik dazu angewählt:

    Ergebnisse: Lagerreaktionen

  14. Über das Angebot "Alle sechs Ergebnis-Graphiken" kommt man zum Auswahl-Bildschirm zurück. Klicken auf das kleine Bild "Biegemoment" vergrößert diese Graphik, die bei Bedarf nun auch bearbeitet werden kann, zusätzlich zu den Angeboten links unten wird noch "Funktionsmaßstab größer/kleiner" angeboten. Die eingezeichnete gestrichelte grüne Linie ist die Bezugsfaser, die die Vorzeichen der Schnittgrößen in Übereinstimmung mit den Vereinbarungen in "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" festlegt. Das absolut größte Biegemoment ist in der Graphik rot gezeichnet, sein Wert wird im unteren Bereich angegeben:

    Ergebnis: Biegemoment und Schnittgrößenliste
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