Der Button "Alles löschen" gehört zum Angebot "Ändern und löschen". Nach Anklicken des Buttons erscheint die nebenstehend zu sehende Rückfrage. Erst nach Bestätigung mit dem "OK"-Button wird tatsächlich gelöscht.

Unter "Alles" wird das gesamte Berechnungsmodell verstanden (Elemente, Federelemente, Knoten, Lager, elastische Lager, Knotenmassen). Nicht betroffen sind die Einstellungen für die Zeichenfläche, das Fangraster und die Optionen.

Das Angebot "Ändern und löschen" bietet für die bereits eingegebenen Objekte die Möglichkeit der Korrektur an. Es sind jeweils nur die Angebote zugänglich (über gelbe Buttons), für die bereits Objekte existieren (rechts sieht man die Situation, in der noch keine Federelemente existieren). Nach Klick auf einen gelben Button geht es dann zu den passenden Angeboten, siehe "Element ändern bzw. löschen", "Knoten ändern bzw. löschen", "Federelement ändern bzw. löschen", "Starres Lager löschen", "Feder/Drehfeder ändern", "Knotenmasse ändern bzw. löschen" und "Alles löschen".

Man beachte, dass über das Angebot "Knoten ändern" die Koordinaten geändert werden können, was sich dann auch auf alle an diesem Knoten befindlichen Elemente, Lager, Federn und Knotenmassen auswirkt. Beim Löschen von Knoten bzw. Elementen ändern sich auch die Nummerierungen (Elemente mit höheren Nummern "rücken auf").

Animation starten/stoppen: Nach erfolgreicher Berechnung (siehe "Berechnung starten") erscheint rechts neben der Zeichenfläche das Angebot, eine Eigenschwingungsform grafisch darzustellen bzw. die Eigenschwingung als Animation zu zeigen (siehe "Visualisierung der Ergebnisse").

Links sieht man dieses Angebot, nachdem im Auswahlfeld "3." gewählt und die Animation gestartet wurde. Der Start-Button hat seine Beschriftung in "Animation stoppen" geändert.

Weil bei der Berechnung von Eigenschwingungen elastischer Systeme die (von der Erregung abhängigen) Ausschläge nur bis auf einen beliebigen Faktor berechnet werden können, kann die Animation übertrieben große bzw. sehr kleine Ausschläge zeigen, die über die beiden Buttons neben dem Wort "Amplitude" beliebig vergrößert oder verkleinert werden können.

Bei der Geschwindigkeit existiert ein anderes Problem: Zwar ist die Frequenz (und damit die Schwingungsdauer) bekannt, aber die Geschwindigkeiten bei realer Darstellung sind in der Regel so groß, dass informative Animationen nur per Zeitlupe dargestellt werden können. Die beiden Buttons neben dem Wort "Geschwindigkeit" gestatten die Vergrößerung bzw. Verkleinerung der Geschwindigkeit. In dem für Hinweise vorgesehenen Feld unter dem Grafikfeld erscheint deshalb die Informationen über die berechnete Schwingungsdauer und den jeweils aktuellen Zeitlupenfaktor für die dargestellte Animation:

Die Angebote in dem links zu sehenden Feld funktionieren auch hier in der Hilfe-Datei und wirken sich auf die rechts zu sehende Darstellung aus. Man kann damit eine interessante Variante der Darstellung ausprobieren: Das Auswahlfeld für die Nummer der darzustellenden Schwingungungsform wird geöffnet, und man kann mit der Maus über die angebotenen Schwingungsformen gleiten. Die grafische Darstellung folgt dem jeweiligen Auswahlfeld, auch wenn dieses nicht angeklickt wird.

Nach Anklicken von "Animation stoppen" erscheint die Darstellung des Berechnungsmodells (hier mit Knoten- und Elementnummern). Danach kann man zum Beispiel "... zeichnen" für eine eingestellte Eigenschwingung anklicken, und man sieht das statische Bild der Schwingungsform.

Ein Arithmetischer Ausdruck darf Zahlen, öffnende und schließende Klammern ( [ { } ] ), die Symbole für die vier Grundrechenarten + − * / und das Potenzieren ^ und Standardfunktionen (mit Argumenten in Klammern) enthalten. In alle Eingabefelder, die Zahlenwerte erwarten, können auch arithmetische Ausdrücke eingegeben werden. Hier findet man ausführlichere Informationen und Beispiele.

Nebenstehend sieht man ein Beispiel: Für einen Rundstab mit einem Durchmesser d = 20 mm aus Stahl (Elastizitätsmodul E = 2,1·10⁵ N/mm², Dichte ρ = 7,87 g/cm³) werden die Parameter eingegeben (Flächenträgheitsmoment I = πd ⁴/64, Querschnittsfläche A = πd ²/4). Man sieht die arithmetischen Ausdrücke und die dazu passend gewählten Dimensionen (bei der Massebelegung musste der Durchmesser auch in cm eingegeben werden, um mit der Dimension für die Dichte kompatibel zu sein). Nach Eingabe dieser Parameter findet man dieses Element im Eingabeprotokoll mit dieser Zeile wieder:

Als Berechnungsverfahren dient die Methode der finiten Elemente, die auf ein lineares Differenzialgleichungssystem führt:

Mit dem aus der Schwingungslehre bekannten Ansatz entsteht mit

ein allgemeines Matrizeneigenwertproblem mit symmetrischen und positiv definiten Matrizen M und K. In die Massenmatrix M fließen die auf die Knoten reduzierten verteilten Massen der biege- und dehnsteifen Elemente und die Massen und Massenträgheitsmomente der Knotenmassen ein. Die Steifigkeitsmatrix K repräsentiert die elastischen Eigenschaften der biege- und dehnsteifen Elemente, der Federelemente und der elastischen Lager.

Die starren Lager werden durch die FEM-typische Strategie des Streichens der entsprechenden Zeilen und Spalten in M und K berücksichtigt.

Das verbleibende allgemeine Matrizeneigenwertproblem wird auf ein spezielles Matrizeneigenwertproblem reduziert und schließlich mit dem Jacobi-Verfahren gelöst. Die Lösung besteht aus den Eigenkreisfrequenzen ω_i und den zugehörigen Eigenvektoren v_i (Schwingungsformen).

Berechnung fehlgeschlagen: Wenn das Berechnungsmodell nicht korrekt ist und die Berechnung deshalb fehlschlägt, kann es zwei Ursachen geben:

• Das Berechnungsmodell ist noch nicht komplett. Zu einem schwingungsfähigen Modell gehören Massen (werden durch die biege- und dehnsteifen Elemente und die Knotenmassen eingebracht) und Elastizitäten (werden durch die biege- und dehnsteifen Elemente, Federelemente und elastische Lager eingebracht). Wenn keine Massen oder keine Elastizitäten vorhanden sind, erhält man folgende Fehlerausschrift:

  

• Die Eigenschwingungen werden durch das Eigenwertproblem

  

  beschrieben, und beide Matrizen M und K sind nicht positiv definit (siehe Seite "Positiv definit", was ist das?). Man erhält die Ausschrift:

  

  Einige Ursachen, die zu dieser Fehlermeldung führen, werden im Hilfe-Eintrag Fehlerursachen aufgelistet.

Berechnung starten: Anklicken des (nebenstehend zu sehenden) grünen Buttons startet die Berechnung von Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen des Modells, wie es zum aktuellen Zeitpunkt definiert ist. Wenn die Berechnung erfolgreich ist, werden die Ergebnisse in einer Tabelle gelistet (siehe: Ergebnisse) und können in der Zeichenfläche visualisiert werden (siehe "Visualisierung der Ergebnisse".

Wenn das Berechnungsmodell nicht korrekt ist und die Berechnung deshalb fehlschlägt, kann es zwei Ursachen geben, die im Hilfeeintrag "Berechnung fehlgeschlagen" beschrieben werden.

Drucken: Die wichtigsten Informationen zum Berechnungsmodell und die berechneten Ergebnisse können jederzeit durch Anklicken des Buttons

zum Drucker geschickt werden. Es wird die Grafik in das Druckbild eingefügt, die gerade auf dem Bildschirm zu sehen ist (Berechnungsmodell oder Schwingungsform der gewählten Eigenschwingung). Wie das Druckbild zum Beispiel aussieht, kann man sich für das nebenstehend skizzierte Beispiel ansehen (Modell, das beim Start zu sehen ist). Die Datei Rahmenschwingung.pdf wurde nach Klick auf den Druck-Button mit dem als FreePDF frei verfügbaren Druckertreiber erzeugt.

Eigenkreisfrequenz: Bei dem verwendeten Berechnungsverfahren fallen als primäre Ergebnisse die Quadrate der Eigenkreisfrequenzen ω _i² an (siehe Jacobi-Verfahren). Aus den ω _i können die Eigenfrequenzen (Schwingungen pro Zeiteinheit) f _i = ω _i/(2π) berechnet werden. Beide Werte werden als Ergebnisse ausgewiesen.

Eingabeprotokoll: Bei der Definition des Berechnungsmodells werden alle Eingaben sofort protokolliert (und können damit kontrolliert werden). Das Eingabeprotokoll erscheint unterhalb des Eingabemenüs und besteht aus zwei Tabellen.

In der Tabelle "Knoten" werden für jeden Knoten die Koordinaten, am Knoten befindliche starre Lager, elastische Lager (Feder, Drehfeder) und Knotenmassen (einschließlich Massenträgheitsmoment) in einer Zeile gelistet. Alle Zahlenwerte erscheinen mit den bei der Eingabe verwendeten Dimensionen.

In der Tabelle "Elemente" werden für alle biege- und dehnsteifen Elemente und die Federelemente die beiden zugehörigen Knotennummern in einer Zeile gelistet. Zusätzlich stehen in dieser Zeile für die biege- und dehnsteifen Elemente die Biegesteifigkeit EI, die Dehnsteifigkeit EA und die Massebelegung ρA. Für die Federelemente wird die Federzahl c gelistet. Alle Zahlenwerte erscheinen mit den bei der Eingabe verwendeten Dimensionen.

Für das nebenstehend zu sehende System sieht man nachfolgend das komplette Eingabeprotokoll:

Elemente: Das zu untersuchende System besteht aus Elementen, die an Knoten miteinander verbunden sind. Es stehen zwei Elementtypen zur Verfügung, die über "Biege- und dehnsteifes Element" bzw. "Federelement" definiert werden:

• Biege- und dehnsteife Elemente sind gerade Träger mit einer Biegesteifigkeit EI (Elastizitätsmodul · Flächenträgheitsmoment), einer Dehnsteifigkeit EA (Elastizitätsmodul · Querschnittsfläche) und einer Massebelegung ρA (Masse pro Längeneinheit bzw. Dichte · Querschnittsfläche). Diese Elemente werden in der Reihenfolge, mit der sie definiert werden, nummeriert. In der Grafik (siehe nebenstehendes Bild rechts) erscheinen weiße Ziffern auf blauem Grund.
• Federelemente sind masselos und können nur eine Kraft in Längsrichtung übertragen. Ihre Steifigkeit wird durch eine Federzahl c charakterisiert. Federelemente werden in der Reihenfolge, mit der sie definiert werden, nummeriert. In der Grafik (siehe nebenstehendes Bild rechts) erscheinen schwarze Ziffern auf hellblauem Grund.

Das Angebot "Element ändern bzw. löschen" erreicht man über den Button "Element" im Bereich "Ändern und löschen" (es bezieht sich auf biege- und dehnsteife Elemente, Federelemente haben ihren eigenen Button). Man kommt zur nebenstehend rechts zu sehenden Auswahl. Angeboten wird das zuletzt erzeugte Element, die Elementnummer muss gegebenenfalls geändert werden.

Bei Klick auf den Button "... löschen" wird das Element sofort (ohne Rückfrage!) gelöscht und verschwindet sowohl aus dem Eingabeprotokoll als auch aus der Grafik.

Bei Klick auf "Knoten ändern" öffnet sich das links zu sehende Angebot mit den Knotennummern, an denen das Element angeschlossen ist. Hier können beide Knotennummern auf die Nummern bereits existierender Knoten geändert werden. Nach Anklicken von "Änderung übernehmen" findet man die neue Situation sowohl in der Grafik als auch in der Elementliste.

Bei Klick auf "Parameter ändern" öffnet sich das rechts zu sehende Angebot, mit dem gegebenenfalls alle drei Elementparameter einschließlich der zugehörigen Dimensionen geändert werden können. Nach Anklicken von "Werte übernehmen" findet man die neue Situation sofort in der Elementliste.

Mit dem Angebot "Elemente definieren" (nebenstehender Button) wird sinnvollerweise die Definition des Berechnungsmodells begonnen. Für die beiden Knoten, die die Lage eines Elements definieren, können bereits vorhandene Knoten verwendet werden, man kann jedoch auch neue Knoten erzeugen. Die Elemente werden in der Reihenfolge ihrer Erzeugung automatisch nummeriert.

Nach dem Anklicken des Buttons "Biege- und dehnsteifes Element" erscheint folgendes Angebot:

In der Regel wird man das Angebot des Mausklicks auf das Fangraster des Grafikbereichs wählen: In der Zeichenfläche erscheint ein Element mit einem Knoten, der der Mausbewegung folgt, mit der Maus zu dem gewünschten Punkt auf dem Raster verschoben und dort mit Mausklick fixiert werden kann. Wenn aber zum Beispiel Knoten definiert wurden, die nicht auf dem Raster liegen (und per Mausklick nicht erreichbar sind), kann man die entsprechende Knotennummer eingeben. Man kann aber auch einen neuen Knoten definieren, der nicht auf dem eingestellten Fangraster liegt. Dafür dient die untere Zeile, in die die beiden Knotenkoordinaten eingegeben werden können.

Nach der Eingabe des ersten Knotens erscheint ein entsprechendes Angebot für die Eingabe des zweiten Knotens, für den die gleichen Optionen gelten. Wenn auch der zweite Knoten fixiert ist, werden die Elementparameter abgefragt:

Für die Biegesteifigkeit (Elastizitätsmodul · Flächenträgheitsmoment), die Dehnsteifigkeit (Elastizitätsmodul · Querschnittsfläche) und die Massebelegung (Masse pro Längeneinheit bzw. Dichte · Querschnittsfläche) werden jeweils mehrere (einstellbare) Dimensionen angeboten. Man beachte, dass an Stelle der Zahlenwerte auch arithmetische Ausdrücke eingegeben werden dürfen. Hier findet man ein Beispiel.

Wenn die Eingabe mit Klick auf "OK" abgeschlossen wird, erscheint ohne nochmaliges Anklicken des Buttons "Biege- und dehnsteifes Element" das Angebot, ein weiteres Element zu erzeugen (Aufforderung, den ersten Knoten zu erzeugen usw. in der beschriebenen Reihenfolge der Abfragen). Wenn die Eingabe der Elementparameter jedoch mit "OK für alle" abgeschlossen wird, entfällt für alle weiteren Elemente die Abfrage der Elementparameter (es müssen nur die Knoten definiert werden).

Die Elementnummern entstehen automatisch beim Erzeugen der biege- und dehnsteifen Elemente und der Federelemente. Man beachte, dass man bei der Definition von Elementen und Federelementen auf vorhandene Knoten zugreifen oder neue Knoten erzeugen kann. Knoten, die erzeugt werden, bekommen auch automatisch ihre Nummerierung (siehe "Knotennummern").

In der Grafik kann die Anzeige der Elementnummern über die entsprechende "Option" an- bzw. abgeschaltet werden (Bild links bzw. rechts). Man erkennt, dass die biege- und dehnsteifen Elemente (blau unterlegte Nummern) und die Federelemente (hellblau unterlegte Nummern) gesondert nummeriert sind. Die Nummern stimmen jeweils mit den entsprechenden Nummern in der Liste der Elemente im Eingabeprotokoll überein.

Die Ergebnisse (Eigenfrequenzen und Schwingungsformen) werden in einer Tabelle unterhalb des Eingabe-Protokolls ausgegeben. Der nachfolgende Bildschirm-Schnappschuss zeigt die Ergebnisse des nebenstehend zu sehenden Beispiels). Für die Eigenschwingungsform wird ein normierter Vektor der Knotenverformungen ausgegeben mit den Horizontalverschiebungen u_i, den Vertikalverschiebungen v_i und den Biegewinkeln φ_i.

Das Angebot "Grafik, Eingabeprotokoll und Ergebnisse drucken!" schickt alle wesentlichen Informationen zum Drucker.

Die Ergebnisse können auch im Grafikfeld als Eigenschwingungsform oder als Animation dargestellt werden. Nebenstehend ist die zur 2. Eigenfrequenz des oben skizzierten Beispiels gehörende Schwingungsform dargestellt. Man beachte, dass Eigenschwingungsberechnungen stets nur die Form, nicht die tatsächlichen Schwingungsausschläge liefern können (weil diese von der Art der Schwingungserregung abhängig sind). Die skizzierten Ausschläge sind also mit einem beliebigen Faktor darstellbar, deshalb gibt es neben dem Grafikfeld das Angebot "Amplitude", mit dem über +- bzw. −-Button die Größe der Ausschläge (auch für die Animation) geändert werden können:

Fangraster: Für Eingaben über den Grafikbereich existiert ein Fangraster, das über die ganz rechts zu sehenden Felder eingestellt werden kann. Nur auf dieses Raster können sich Eingaben mit Mausklicks beziehen.

Man beachte, dass das Fangraster unabhängig von dem (mit kleinen grauen Kreuzen) in der Zeichenfläche dargestellten Raster ist, das nur zur Orientierung dient (nebenstehend sind in der Zeichenfläche Rasterweiten 0,5 zu sehen, das Fangraster ist auf Weiten von 0,1 eingestellt).

Die Existenz des Fangrasters wird deutlich, wenn man die Maus über die Zeichenfläche bewegt. Zum aktuellen Punkt werden links oben in zwei Feldern die aktuellen Koordinaten des Punktes angezeigt (nebenstehendes Bild links), der bei einem Klick mit der Maustaste abgeliefert wird. Die Anzeige ändert sich dementsprechend sprunghaft (vom nächstgelegenen Fangrasterpunkt zum folgenden).

Mit dem Angebot "Federelement" (nebenstehender Button) wird eine Feder definiert, die zwischen zwei Knoten des Systems angeordnet ist (man beachte den Unterschied zum elastischen Lager, dessen Feder in einem Festlager fixiert ist). Für die beiden Knoten, die die Lage eines Federelements definieren, können bereits vorhandene Knoten verwendet werden, man kann jedoch auch neue Knoten erzeugen. Die Federelemente werden in der Reihenfolge ihrer Erzeugung automatisch nummeriert.

Nach dem Anklicken des Buttons "Federelement" erscheint folgendes Angebot:

Federelement, schwarzer Knoten ist bereits fixiert, grüner Knoten folgt der Maus

In der Regel wird man das Angebot des Mausklicks auf das Fangraster des Grafikbereichs wählen: In der Zeichenfläche erscheint ein Federelement mit einem Knoten, der der Mausbewegung folgt, mit der Maus zu dem gewünschten Punkt auf dem Raster verschoben und dort mit Mausklick fixiert werden kann. Wenn aber zum Beispiel Knoten definiert wurden, die nicht auf dem Raster liegen (und per Mausklick nicht erreichbar sind), kann man die entsprechende Knotennummer eingeben. Man kann aber auch einen neuen Knoten definieren, der nicht auf dem eingestellten Fangraster liegt. Dafür dient die untere Zeile, in die die beiden Knotenkoordinaten eingegeben werden können.

Nach der Eingabe des ersten Knotens erscheint ein entsprechendes Angebot für die Eingabe des zweiten Knotens, für den die gleichen Optionen gelten. Wenn auch der zweite Knoten fixiert ist, wird die Federzahl abgefragt:

Für die Federzahl werden 6 verschiedene Dimensionen angeboten. Man beachte, dass an Stelle der Zahlenwerte auch arithmetische Ausdrücke eingegeben werden dürfen.

Wenn die Eingabe mit Klick auf "OK" abgeschlossen wird, erscheint ohne nochmaliges Anklicken von "Federelement" das Angebot, ein weiteres Federelement zu erzeugen (Aufforderung, den ersten Knoten zu erzeugen usw. in der beschriebenen Reihenfolge der Abfragen).

Das Angebot "Federelement ändern bzw. löschen" erreicht man über den Button "Federelement" im Bereich "Ändern und löschen". Man kommt zur nebenstehend rechts zu sehenden Auswahl. Angeboten wird das zuletzt erzeugte Federelement, diese Nummer muss gegebenenfalls geändert werden.

Bei Klick auf den Button "... löschen" wird das Federelement sofort (ohne Rückfrage!) gelöscht und verschwindet sowohl aus dem Eingabeprotokoll als auch aus der Grafik.

Bei Klick auf "Knoten ändern" öffnet sich das links zu sehende Angebot mit den Knotennummern, an denen das Federelement angeschlossen ist. Hier können beide Knotennummern auf die Nummern bereits existierender Knoten geändert werden. Nach Anklicken von "Änderung übernehmen" findet man die neue Situation sowohl in der Grafik als auch in der Elementliste des Eingabeprotokolls.

Bei Klick auf "Parameter ändern" öffnet sich das rechts zu sehende Angebot, mit dem die Federzahl und die zugehörige Dimension geändert werden können. Nach Anklicken von "Werte übernehmen" findet man die neue Situation sofort in der Elementliste des Eingabeprotokolls.

Das Angebot "Feder/Drehfeder ändern" erreicht man über den Button "Feder/Drehfeder" im Bereich "Ändern und löschen" (dieses Angebot bezieht sich auf elastische Lager, nicht auf die Federelemente). Man kommt zu dem nebenstehend rechts zu sehenden Angebot. Angeboten wird der Knoten mit der zuletzt erzeugten Feder bzw. Drehfeder, diese Nummer muss gegebenenfalls geändert werden.

Bei Klick auf den Button "... ändern" öffnet sich das links zu sehende Angebot mit den Federzahlen der drei an einem Knoten möglichen Federn, die gegebenenfalls alle (einschließlich der Dimension) geändert werden können. Man kann auf diesem Wege auch Federn hinzufügen, indem eine Federzahl ungleich 0 eingegeben wird. Die Eingabe einer 0 als Federzahl hingegen löscht diese Feder. Nach Anklicken von "Werte übernehmen" findet man die neue Situation sowohl in der Grafik als auch in der Elementliste des Eingabeprotokolls.

Fehlerursachen: Wenn die Berechnung fehlschlägt, ist eine der beiden nachfolgend beschriebenen Situationen eingetreten:

• Das Berechnungsmodell ist noch nicht komplett. Man erhält folgende Mitteilung:

  

  Modell mit Knotenmasse und Lagern, keine Elastizitäten

  Modell mit Federelement, Festlager und elastischem Lager, keine Massen

  
  
  Zu einem schwingungsfähigen Modell gehören Massen (werden durch die biege- und dehnsteifen Elemente und die Knotenmassen eingebracht) und Elastizitäten (werden durch die biege- und dehnsteifen Elemente, Federelemente und elastische Lager eingebracht). Wenn keine Massen oder keine Elastizitäten vorhanden sind, ist es kein schwingungsfähiges Modell (siehe nebenstehende Beispiele).
• Die Eigenschwingungen werden durch das Eigenwertproblem

  

  beschrieben (siehe "Berechnungsverfahren"), und beide Matrizen M und K sind nicht positiv definit (siehe Seite "Positiv definit", was ist das?). Man erhält die Ausschrift:

  

  Nachfolgend sieht man links zwei Systeme, die auf diese Fehlermeldung führen. Rechts sind jeweils ähnliche Systeme zu sehen, die aber schwingungsfähige Modelle sind.

  Korrekte Modelle mit mindestens einem schwingungsfähigen Knoten

  Kein schwingungsfähiger Knoten

  Das links zu sehende Modell hat mit dem biege- und dehnsteifen Element zwar Masse und Elastizität. Weil nach dem FEM-Algorithmus beide Eigenschaften auf die Knoten reduziert werden und hier beide Knoten starr eingespennt sind, ist dieses Modell nicht schwingungsfähig. Dagegen sind die beiden Modelle rechts korrekt (mindestens ein Knoten, bei dem nicht sämtliche Freiheitsgrade behindert sind).

  Starrkörperbewegung möglich, trotzdem korrekte Schwingungsmodelle

  Keine Massen, Starrkörperbewegung möglich

  Wenn sich das System als Starrkörper verschieben kann, ist in jedem Fall die Steifigkeitsmatrix K nicht positiv definit. Wenn dann auch noch die Massen fehlen (linkes Bild, die Massenmatrix M ist eine Nullmatrix), ist es kein schwingungsfähiges Modell.

  Mögliche Starrkörperverschiebung allein lässt aber immer noch ein schwingungsfähiges Modell zu. Der rechts zu sehende Rahmen ist ein Beispiel dafür (auch das Modell, das beim Start des Programms zu sehen ist, gehört dazu). Sogar ein völlig freies (durch keine Lagerung fixiertes) einzelnes Element (Bild ganz rechts) ist ein schwingungsfähiges System (vgl. Beispiel 3).

Die Genauigkeit der Ergebnisse ist von zwei Einflüssen abhängig:

• Es wird ein Finite-Elemente-Modell (siehe "Berechnungsverfahren") verwendet, das in keinem Fall die Theorie der freien Schwingungen elastischer Systeme exakt abbilden kann. Im Gegensatz zur Verformungs- und Schnittgrößenberechnung für elasto-statische Probleme, wie sie zum Beispiel mit dem interaktiven Programm "Biege- und dehnsteife Rahmen" berechnet werden können, das die klassische Biegetherie für viele Modelle exakt nachbildet, ist dies für Schwingungsprobleme nicht möglich. Die FEM-Modellierung ist aber in der Regel eine sehr gute Näherung, die gegegebenenfalls durch feinere Diskretisierung (ein Träger wird durch mehrere Elemente abgebildet) noch verbessert werden kann. Dies ist besonders dann zu empfehlen, wenn auch höhere Eigenfrequenzen von Interesse sind (vgl. hierzu das Beispiel 1).
• Die Rechnung führt auf ein allgemeines symmetrisches Matrizeneigenwertproblem, das nur iterativ gelöst werden kann. Hier kann theoretisch zwar eine beliebige Genauigkeit erreicht werden, die aber mit größeren Rechenzeiten erkauft wird (siehe "Jacobi-Verfahren").

Im Grafikbereich können alle einzugebenden Elemente platziert werden (ist in der Regel bequemer als das parallele Angebot, Koordinaten über die Tastatur einzugeben). Alle bereits eingegebenen Elemente (Biege- und dehnsteife Elemente, Federelemente, Knoten, starre Lager, elastische Lager, Knotenmassen) werden permanent dargestellt. Außerdem können nach erfolgreicher Berechnung Ergebnisse visualisiert werden (Schwingungsformen, Animation der Schwingungen). Zur Orientierung können ein Koordinatensystem und ein Raster angezeigt werden. Die Darstellung kann durch zahlreiche Einstellungen und Optionen beeinflusst werden:

• Optionen (was soll dargestellt werden): Koordinatensystem, Raster, Knotennummern, Stabnummern,
• Limits und Raster (Stichwort: Zeichenfläche),
• Zoom und Verschiebung.

Mit dem Jacobi-Verfahren wird das spezielle Matrizeneigenwertproblem (K ^* − λ E) v^* = o gelöst (ausführlich beschrieben im Bereich "Mathematik für die Technische Mechanik" auf der Seite "Das Verfahren von Jacobi"). Es arbeitet iterativ, indem mit Hilfe von elementaren Orthogonaltransformationen (so genannten "Jacobi-Rotationen") die Matrix K ^* des speziellen Matrizeneigenwertproblems sukzessive in eine Diagonalmatrix überführt wird, die dann als Diagonalelemente λ _i = ω _i² die Eigenwerte von K ^* enthält. Das Produkt aller elementaren Orthogonalmatrizen enthält spaltenweise die zugehörigen Eigenvektoren.

Der Fehler der berechneten Eigenwerte λ _i wird in jedem Schritt über die Summe der Quadrate der Nichtdiagonalelemente der geänderten Matrix K ^* abgeschätzt. Die Rechnung wird beendet, wenn entweder die vorgegebene Genauigkeit erreicht oder die vorgegebene maximale Anzahl von Jacobi-Rotationen überschritten wurde. Dafür findet man im Eingabebereich des Programms folgenden Text:

Man beachte, dass sich der Fehler ε _abs auf die Eigenwerte λ _i bezieht (nicht auf die Quadrate der Eigenkreisfrequenzen ω _i) Mit der Ausgabe der Ergebnisse erhält man auch die Information, ob diese Genauigkeit erreicht wurde. Gegebenenfalls kann man die Anzahl der Iterationsschritte erhöhen, um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen. Man beachte, dass es der absolute Fehler ist, der mit dieser Einstellung gesteuert werden kann und dass deshalb die relative Genauigkeit der (im Allgemeinen besonders interessierenden) kleinsten Frequenzen geringer ist als für die höheren Frequenzen. Außerdem wird mit dieser Einstellung nur die Genauigkeit der Jacobi-Rechnung beeinflusst. Der Fehler, der durch die Finite-Elemente-Modellierung in die Rechnung hineinkommt, kann nicht abgeschätzt werden.

Das allgemeine Matrizeneigenwertproblem wird nach dem gleichen Verfahren gelöst, nachdem es vorher unter Erhalt der Symmetrie in ein spezielles Matrizeneigenwertproblem überführt wurde (siehe "Allgemeines Matrizeneigenwertproblem ⇒ Spezielles Matrizeneigenwertproblem").

Knoten sind die Verbindungspunkte für die Elemente. Nur an den Knoten kann das System gelagert werden. An den Knoten können Einzelmassen (auch mit Drehträgheit) angebracht werden (siehe Knoten 1 in nebenstehendem Bild). Es sind starre und elastische Lager möglich. Nebenstehend sieht man Beispiele für eine starre Einspannung (Knoten 5, Verhinderung aller Freiheitsgrade), ein Festlager (Verhinderung der Verschiebungen in beiden Richtungen, Knoten 6), Loslager mit Verhinderung der Vertikalverschiebung (Knoten 4) bzw. der Horizontalverschiebung (Knoten 3). Am Knoten 2 ist ein elastisches Lager (Feder, vertikal gerichtet) angebracht, am Knoten 6 zusätzlich zum Festlager noch eine Drehfeder.

An einem Knoten können (wie im Beispiel am Knoten 6) mehrere Lager angebracht werden. Bei den Federn können eine horizontal gerichtete und eine vertikal gerichtete am Lager wirken (gegebenenfalls auch noch eine Drehfeder), aber nicht zwei Federn mit gleicher Richtung, denn in diesem Fall können sie zu einer Feder zusammengefasst werden.

Das Angebot "Knoten definieren" (nebenstehender Button) braucht in der Regel nicht genutzt zu werden, weil Knoten auch bei der Eingabe von Elementen, Federelementen, Lagern und Knotenmassen erzeugt werden, wenn sie nicht bereits existieren. Aus folgenden Gründen kann es sinnvoll sein, das Angebot "Knoten definieren" anzunehmen:

• Die Knotennummern entstehen in der Reihenfolge der Knotenerzeugung. Wenn man eine bestimmte Nummerierung erzwingen will, kann man dies auf diesem Wege erreichen.
• Nach dem Anklicken des Buttons "Knoten definieren" erscheint folgendes Angebot:

  

  Man kann also auch Knoten definieren, die nicht auf dem eingestellten Fangraster liegen. Diese können bei nachfolgenden Eingaben zwar nicht über die Maus "gefangen" werden, sind aber über ihre Knotennummer zu identifizieren.

Nach Anklicken des Buttons "Knoten definieren" können beliebig viele Knoten (ohne nochmaliges Anklicken des Buttons) erzeugt werden.

Das Angebot "Knoten ändern bzw. löschen" erreicht man über den Button "Knoten" im Bereich "Ändern und löschen". Man kommt zur nebenstehend rechts zu sehenden Auswahl. Angeboten wird der zuletzt erzeugte Knoten, die Knotennummer muss gegebenenfalls geändert werden.

Bei Klick auf "... löschen" wird der Knoten (ohne Rückfrage) gelöscht, allerdings nur, wenn es ein "freier Knoten" ist (es sind keine Elemente, Federelemente, Lager oder Knotenmassen mit dem Knoten verbunden), ansonsten wird das Löschen mit einer entsprechenden Mitteilung abgelehnt.

Bei Klick auf "Koordinaten ändern" öffnet sich das links zu sehende Angebot für den ausgewählten Knoten. Hier können beide Koordinaten geändert werden. Nach Anklicken von "Werte übernehmen" findet man die neue Situation sowohl in der Grafik als auch in der Knotenliste. Das Ändern der Knotenkoordinaten beeinflusst auch alle an diesem Knoten angeschlossenen Elemente, Federelemente, Lager und Knotenmassen.

Mit dem Angebot "Knotenmasse" (nebenstehender Button) wird eine Einzelmasse für einen bestimmten Knoten definiert, die auch Drehträgheit (repräsentiert durch ein Massenträgheitsmoment) haben kann.

Nach dem Anklicken des Buttons "Knotenmasse" erscheint folgendes Angebot:

In der Regel wird man das Angebot des Mausklicks auf das Fangraster des Grafikbereichs wählen: In der Zeichenfläche erscheint eine Knotenmasse, die der Mausbewegung folgt, mit der Maus zu dem gewünschten Punkt auf dem Raster verschoben und dort mit Mausklick fixiert werden kann. Wenn aber zum Beispiel Knoten definiert wurden, die nicht auf dem Raster liegen (und per Mausklick nicht erreichbar sind), kann man die entsprechende Knotennummer eingeben.

Nach der Eingabe des Knotens werden die Parameter abgefragt:

Für die Werte werden verschiedene Dimensionen angeboten. Man beachte, dass an Stelle der Zahlenwerte auch arithmetische Ausdrücke eingegeben werden dürfen.

Mit Klick auf "OK" wird die Eingabe abgeschlossen.

Das Angebot "Knotenmasse ändern bzw. löschen" erreicht man über den Button "Knotenmasse" im Bereich "Ändern und löschen". Man kommt zur nebenstehend rechts zu sehenden Auswahl. Angeboten wird die Knotennummer der zuletzt erzeugten Knotenmasse, diese Nummer muss gegebenenfalls geändert werden.

Bei Klick auf den Button "... löschen" wird die Knotenmasse sofort (ohne Rückfrage!) gelöscht und verschwindet sowohl aus dem Eingabeprotokoll als auch aus der Grafik.

Bei Klick auf "Parameter ändern" öffnet sich das links zu sehende Angebot, mit dem die Masse und das Massenträgheitsmoment und die zugehörigen Dimensionen geändert werden können. Nach Anklicken von "Werte übernehmen" findet man die neue Situation sofort in der Elementliste.

Die Knotennummern entstehen automatisch beim Erzeugen von Knoten (also auch bei der Eingabe von Elementen, Federelementen, Lagern und Knotenmassen, bei denen neue Knoten erzeugt werden). Nur dann, wenn eine bestimmte Knotennummerierung gewünscht ist, sollte man das Angebot "Knoten definieren" benutzen, dann allerdings vor allen anderen Eingaben.

In der Grafik kann die Anzeige der Knotennummern über die entsprechende "Option" an- bzw. abgeschaltet werden (Bild links bzw. rechts).

Das Koordinatensystem, das im Grafikbereich zu sehen ist, stellt einen Bereich dar, der über die Angebote des Menüs "Zeichenfläche" gesteuert werden kann. Die dort auch anzugebenden Rasterweiten dienen nur zur Orientierung, es ist NICHT das "Fangraster", auf das die Mauseingaben gefangen werden.

Man kann die Anzeige des Koordinatensystems über das Optionenfeld (siehe Bild rechts) unterdrücken. Über das Auswahlfeld darunter kann man aus drei verschiedenen Längendimensionen wählen.

Festlager, Loslager, starre Einspannungen	Elastische Lager	Drehfeder

Lager definieren: Ein Knoten kann gelagert werden. Es stehen Festlager, Loslager, starre Einspannungen und elastische Lager und die Drehfeder-Lagerung zur Verfügung. Es sind mehr Symbole verfügbar als erforderlich (die 4 Festlager-Symbole zum Beispiel sind gleichwertig), um die Grafik möglichst weitgehend dem Bild der Aufgabenstellung anpassen zu können.

Nach dem Anklicken eines Buttons erscheint bei Bewegung des Mauszeigers über die Zeichenfläche das entsprechende Lagersymbol (nebenstehendes Bild links zeigt das Drehfedersymbol) und kann mit der Maus zum gewünschten Punkt geführt und dort per Mausklick fixiert werden. Wenn bereits Knoten existieren, erscheint noch folgendes Angebot:

Bei den elastischen Lagern wird noch die Federzahl abgefragt. Für die Drehfeder sieht das so aus:

Dabei kann man die gewünschte Dimension für die Drehfederzahl aus 3 Angeboten wählen (Bild links), für die Federzahl der anderen elastischen Lager stehen sogar 6 Angebote (Bild rechts) zur Auswahl.

Das Angebot "Lager löschen" erreicht man über den Button "Starres Lager" bzw. "Feder/Drehfeder" im Bereich "Ändern und löschen". Das weitere Vorgehen wird beschrieben unter dem Stichwort "Starres Lager löschen" bzw. unter dem Stichwort "Feder/Drehfeder ändern oder löschen".

Die Optionen, die über die "Checkboxen" (rechts) aus- oder abgewählt werden können, beziehen sich auf die grafische Darstellung.

Sie werden im Einzelnen beschrieben in den Hilfe-Einträgen "Koordinatensystem", "Raster", "Knotennummern" und "Elementnummern".

Raster, siehe Zeichenfläche.

Schwingungsform zeichnen: Nach erfolgreicher Berechnung (siehe "Berechnung starten") erscheint rechts neben der Zeichenfläche das Angebot, eine Eigenschwingungsform grafisch darzustellen bzw. die Eigenschwingung als Animation zu zeigen (siehe "Visualisierung der Ergebnisse").

Links sieht man dieses Angebot, nachdem im Auswahlfeld "3." gewählt wurde, rechts sieht man die Zeichenfläche, nachdem auf den Button "... zeichnen" geklickt wurde.

Weil bei der Berechnung von Eigenschwingungen elastischer Systeme die (von der Erregung abhängigen) Ausschläge nur bis auf einen beliebigen Faktor berechnet werden können, kann die Figur übertrieben große bzw. sehr kleine Ausschläge zeigen, die über die beiden Buttons neben dem Wort "Amplitude" beliebig vergrößert oder verkleinert werden können. Die beiden Buttons neben dem Wort "Geschwindigkeit" sind nur für die Darstellung als Animation relevant.

In dem für Hinweise vorgesehenen Feld unter dem Grafikfeld erscheinen Informationen zur dargestellten Schwingungsform:

Das Angebot "Starres Lager löschen" erreicht man über den Button "Starres Lager" im Bereich "Ändern und löschen". Man kommt zu dem nebenstehend rechts zu sehenden Angebot. Angeboten wird das zuletzt erzeugte starre Lager, die Knotennummer muss gegebenenfalls geändert werden.

Bei Klick auf "... löschen" wird das Lager (ohne Rückfrage!) gelöscht.

Das Angebot Verschiebung (links neben der Zeichenfläche) ändert den Ausschnitt, der in der Zeichenfläche dargestellt wird (es sind also Verschiebungen der Darstellung, nicht des Objekts). Es sind Verschiebungen in alle vier Richtungen möglich.

Die Größe der Darstellung ändert sich bei der Verschiebung nicht, dies wird mit den unter "Zoom" beschriebenen Angeboten realisiert.

Visualisierung der Ergebnisse: Nach erfolgreicher Berechnung (siehe "Berechnung starten") erscheint rechts neben der Zeichenfläche das Angebot, eine Eigenschwingungsform grafisch darzustellen bzw. die Eigenschwingung als Animation zu zeigen.

Im Auswahlfeld kann gewählt werden, welche Eigenschwingung dargestellt werden soll. Angeboten wird zunächst die zur 1. Eigenschwingung (zur Grundfrequenz) gehörende Form, es stehen jedoch sämtliche Eigenschwingungen zur Auswahl, die berechnet wurden, so dass man auch die Frequenzen und Formen zu sehen bekommt, die in der Ergebnistabelle fehlen. In eigenen Hilfe-Einträgen wird beschrieben, was beim Klicken auf "... zeichnen" bzw. "... animieren" zusätzlich eingestellt werden kann.

In der Zeichenfläche werden alle eingegebenen Knoten, Elemente, Federelemente, Knotenmassen und Lager dargestellt. Zur Orientierung können ein Koordinatensystem und ein Raster angezeigt werden. Der darzustellende Bereich kann eingestellt und modifiziert werden. Nebenstehend sieht man links die Einstellungen der Grenzen und der Rasterweiten und rechts die Zeichenfläche beim Start.

Man kann auch über die Optionen steuern, ob das Koordinatensystem und das Raster überhaupt angezeigt werden sollen. Für eine schnelle Änderung des angezeigten Bereichs dienen die unter Zoom und Verschiebung beschriebenen Angebote.

Bei Bewegung des Mauszeigers über die Zeichenfläche werden die Koordinaten, die der Mauszeiger gerade einnimmt, in den Feldern unter "Aktuelle Mauskoordinaten" angezeigt (siehe "Fangraster").

Die Dimension der Längenkoordinaten ist beim Start auf m (Meter) eingestellt. Links sieht man das Auswahlfeld, mit dem bei Bedarf auf cm bzw. mm umgestellt werden kann.

Mit dem Angebot Zoom (links neben der Zeichenfläche) kann der Bereich geändert werden, der in der Zeichenfläche dargestellt wird. Es können die Angebote "Zoom ... in" (kleinerer Ausschnitt, damit vergrößerte Darstellung) und "Zoom ... out" (größerer Ausschnitt, damit verkleinerte Darstellung) gewählt werden.

Mit "Zoom ... fit" erreicht man die Optimierung des angezeigten Ausschnitts, so dass alle darzustellenden Objekte sichtbar sind.