TM-Interaktiv

Anfangswertproblem

Laufkatze

Es wird ein Anfangswertproblem von tanf bis tend mit nsteps Integrationsschritten gelöst. Bitte zunächst die folgenden Voreinstellungen dem aktuellen Problem anpassen:

tanf =      tend =      nsteps =     
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Jede Eingabe darf ein arithmetischer Ausdruck sein, der Zahlen, öffnende und schließende Klammern ([{}]), die Symbole für die vier Grundrechenarten + - * / und das Potenzieren ^, die Namen bereits definierter Konstanten (siehe oben links) und Standardfunktionen (mit Argumenten in Klammern) enthalten darf. Man kann bei Bedarf weitere Konstanten über die beiden gelben Eingabefelder (oben links) definieren.

Bei Arbeit mit Winkelfunktionen werden die Winkel in Radian interpretiert
Die Einstellung Grad bzw. Radian gilt für die Interpretation des Arguments aller Winkelfunktionen (sin, cos, tan, cot). Bei Verwendung der Arcusfunktionen (asin, acos, atan, acot) wird das Ergebnis entsprechend dieser Einstellung abgeliefert.
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ZAHLEN können (optional) ein Vorzeichen, einen Dezimalpunkt und einen Exponenten (gegebenenfalls auch mit einem Vorzeichen) enthalten, Beispiele korrekter Zahlen:

-2.1E-5     5120     .3125     0.001
Der Gültigkeitsbereich für Funktionen ist ein einseitig beschränktes Intervall. Für Werte außerhalb dieses Intervalls hat die Funktion den Wert 0.

Beispiel: Eine Funktion Ft = F mit dem Gültigkeitsbereich t ≤ Dt hat in diesem Bereich den Wert F, für t > Dt den Wert 0.
Wenn ein Name eingegeben wird, dem das Zeichen ' folgt (siehe Beispiel links), wird die Definition einer Differenzialgleichung vermutet, und der Eingabebereich (siehe oben rechts) wird für die Eingabe der zugehörigen Anfangsbedingung vorbereitet. Der mit 0 vorbelegte Wert kann auch durch einen arithmetischen Ausdruck verändert werden.
Differenzialgleichungen und Funktionen werden mit dem Namen der abhängigen Variablen identifiziert: Bei einer Differenzialgleichung muss dem Namen das Zeichen ' folgen, z. B.: phi'. Für eine Differenzialgleichung wird immer auch eine Anfangsbedingung gefordert, z. B. phi(t=tanf) = pi/2. Für "normale" Funktionen gibt es immer einen Gültigkeitsbereich.
Ein Name darf Buchstaben, Ziffern und den Unterstrich enthalten und muss mit einem Buchstaben beginnen. Es wird NICHT zwischen Groß- und Kleinbuchstaben unterschieden (PI, pi, Pi oder pI sind gleichwertig). Die Umlaute und das ß sind nicht erlaubt. Gültige Namen sind zum Beispiel:

Alpha, y, x3, Laenge, v_gesamt.
Ein Name darf Buchstaben, Ziffern und den Unterstrich enthalten und muss mit einem Buchstaben beginnen. Wenn dem Namen das Zeichen ' nachgestellt ist, wird die Eingabe einer Differenzialgleichung gestartet. Das Zeichen ' gehört nicht zum Namen der Funktion (Beispiel: Mit x1' wird die Eingabe einer Differenzialgleichung gestartet, in anderen Funktionen und Differenzialgleichungen darf der Funktionsname x1 verwendet werden).
Funktionen werden mit der Syntax

Name = Erweiterter arithmetischer Ausdruck

definiert, zum

Beispiel: Ft = cT * (x - v * t)

mit den (vorab) definierten Konstanten cT und Funktionen x bzw. v und der unabhängigen Variablen t.
Es sind nur Differenzialgleichungen 1. Ordnung mit der Syntax

Name' = Erweiterter arithmetischer Ausdruck

erlaubt, die nach der abzuleitenden Funktion aufzulösen sind, zum

Beispiel: vq' = -c*x/sqrt(x^2+a^2)+F*cos(Omega*t)

Differenzialgleichungen höherer Ordnung werden durch Einführen zusätzlicher Variablen auf ein System 1. Ordnung umgeschrieben.
Der erweiterte arithmetische Ausdruck darf (wie der einfache arithmetische Ausdruck) Zahlen, öffnende und schließende Klammern ([{}]), die Symbole für die vier Grundrechenarten + - * / und das Potenzieren ^, die Namen von Konstanten und Standardfunktionen (mit Argumenten in Klammern) enthalten. Zusätzlich sind die Namen anderer definierter Funktionen und die unabhängige Variable t erlaubt.
Differenzialgleichung 1. Ordnung oder Funktion definieren: Anf.-Bed.:  
=   
Name = Erweiterter arithmetischer Ausdruck    
Differenzialgleichungen und Funktionen werden mit "erweiterten arithmetischen Ausdrücken" definiert, die zusätzlich den Namen der unabhängigen Variablen t und die Namen anderer Funktionen enthalten dürfen.
     
Die Berechnung sollte erst gestartet werden, wenn alle Funktionen und Differenzialgleichungen definiert sind. Vor dem ersten Start der Berechnung wird dringend empfohlen, einen Syntaxcheck auszuführen.
Der Syntaxcheck überprüft, ob Funktionswertberechnungen prinzipiell für alle definierten Funktionen möglich sind. Dafür wird der Wert t = tanf für die unabhängige Variable verwendet. Außerdem wird das Ergebnis einer Zeitschätzung für die komplette Rechnung ausgegeben.

Wegweiser zu den Beispielen:

  • Beispiel 1 behandelt ein einfaches Stabpendel mit großen Ausschlägen (System mit einem Freiheitsgrad). Diese Aufgabe ist das Standard-Demonstrationsbeispiel im Skript "Numerische Integration von Anfangswertproblemen, Teil 1" (PDF, 39 Seiten), in dem die verschiedenen Integrationsverfahren vorgestellt und verglichen werden. Hier ist es das einfache Einführungsbeispiel in das Arbeiten mit dem Programm "Anfangswertproblem".
  • Beispiel 2 ist ein System mit einem Freiheitsgrad, bei die Umkehr der Reibkraftrichtung bei Umkehr der Bewegungsrichtung mit Hilfe des Gültigkeitsbereichs von Funktionen realisiert wird.
  • Beispiel 3 ist ein System mit zwei Freiheitsgraden, bei dem ein zeitabhängiges Ereignis zu berücksichtigen ist (Funktion, die zu einem vorbestimmten Zeitpunkt ihren Verlauf ändert).
  • Beispiel 4 ist ein System mit zwei Freiheitsgraden, bei dem die Differenzialgleichungen in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt sind.
  • Beispiel 5 ist ein System mit zwei Freiheitsgraden, bei dem Differenzialgleichungen in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt sind und außerdem ein zeitabhängiges und mehrere wegabhängige Ereignisse zu berücksichtigen sind.

Stabpendel Beispiel 1: Ein dünner Stab der Länge l mit konstantem Querschnitt ist an einem Ende reibungsfrei gelagert. Er wird aus der vertikalen Lage um den Winkel φ0 ausgelenkt und ohne Anfangsgeschwindigkeit freigegeben (Luftwiderstand kann vernachlässigt werden).

Gegeben:  l = 1 m ;  Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2 ,  φ0 = 3π/4.

Es sind die Bewegungsgesetze φ(t) und ω(t) für die ersten 10 Sekunden der Bewegung zu ermitteln.

Im Kapitel 29 des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird das Anfangswertproblem für diese Aufgabe hergeleitet:

Anfangswertproblem 2. Ordnung

Dieses Anfangswertproblem 2. Ordnung kann durch Einführen einer neue Variablen ω für die erste Ableitung von φ in ein Anfangswertproblem 1. Ordnung überführt werden, das in dieser Form dem Programm "Anfangswertproblem" angeboten werden kann. Hier findet man die ausführliche Beschreibung der kompletten Rechnung, die schließlich folgendes Ergebnis hat:

Grafik in 4 Fenstern
φ(t) (links oben), ω(t) (links unten) ω(φ) (rechts oben) und
als Kontrollfunktion (rechts unten) die Gesamtenergie

Masse in Rinne Beispiel 2: Ein Massenpunkt m wird wie skizziert in eine halbkreisförmige Rinne gelegt und ohne Anfangsgeschwindigkeit freigegeben. Das Bewegungsgesetz φ(t) soll bei Berücksichtigung der Gleitreibung zwischen Massenpunkt und Rinne für die ersten 10 Sekunden der Bewegung berechnet werden.

Gegeben:  R = 1 m ;  Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2 ;  μ =0,05 .

Im Kapitel 28 des Lehrbuchs "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" wird das Anfangswertproblem für diese Aufgabe hergeleitet:

Anfangswertproblem 2. Ordnung

Das Problem steckt im zweiten Term der Differenzialgleichung: Weil bei Umkehr der Bewegungsrichtung die Reibkraft auch ihre Richtung ändert, wurde die Signum-Funktion verwendet (mit der Winkelgeschwindigkeit als Argument). Wie dies mit dem Programm "Anfangswertproblem" realisiert werden kann, wird hier ausführlich beschrieben. Die Berechnung führt schließlich auf folgendes Ergebnis:

Grafik in 2 Fenstern
φ(t) und ω(t) (oben), ω(φ) (unten)

Autorad Beispiel 3: Für die Analyse der Vertikalschwingungen eines Rades infolge der Bodenunebenheiten und der Übertragung der Schwingungen auf die Karosse dient das skizzierte Berechnungsmodell: Zwischen dem Rad (Masse mR) und der Karosserie befinden sich eine Feder und ein Dämpfungsglied (Stoßdämpfer mit geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung), auf denen näherungsweise ein Viertel der Karosseriemasse mK lastet. Die Elastizität der Bereifung wird durch die Federzahl cR erfasst. Dem Punkt A wird die Vertikalbewegung u(t) aufgezwungen.

Gegeben:   mK = 1000 kg ;   cK = 300 N/cm ;   k = 750 kg/s ;   v0 = 50 km/h ;
  mR = 25 kg ;   cR = 900 N/cm ;   a = 20 cm   ;   b  = 40 cm   .

Es sollen die Vertikalschwingungen des Rades und der Karosserie ermittelt werden (Analyse der Bewegungen für 0 ≤ t ≤ 3 s), wenn der Punkt A zum Zeitpunkt t = 0 eine Aufwärtsbewegung auf einer geneigten Linie (rechte Skizze) beginnt und nach Erreichen der Höhe a sich horizontal weiter bewegt. Es soll angenommen werden, dass bis zum Erreichen der Höhe a eine horizontale Strecke b mit einer konstanten Geschwindigkeit v0 zurückgelegt wird, so das der Punkt A diese Strecke nach Δt = b/v0 zurückgelegt hat.

Schnittskizze

Die nebenstehende Schnittskizze gestattet die Formulierung der Bewegungs-Differenzialgleichungen (zum Beispiel mit Hilfe des Prinzips von d'Alembert):

Bewegungs-Differenzialgleichungen

Sämtliche Anfangswerte (beide Koordinaten und ihre Ableitungen) haben den Wert 0. Das lineare Differenzialgleichungssystem kann mit erträglichem Aufwand nur numerisch gelöst werden, weil die Funktion u(t) das Problem erheblich erschwert. Für diese Funktion gilt:

Funktion u(t)

Hier findet man die ausführliche Beschreibung der kompletten Rechnung mit dem Programm "Anfangswertproblem", die auf folgendes Ergebnis führt:

Ergebnisse in 4 Fenstern
xK(t), xR(t) und u(t) (links oben und rechts unten),
Geschwindigkeiten vK(t) und vR(t) (links unten) und vK(xK) (rechts oben)
Doppelpendel

Beispiel 4: Ein Doppelpendel wird definiert durch die beiden Pendelmassen m1 und m2, die auf die jeweiligen Schwerpunkte bezogenen Massenträgheitsmomente JS1 und JS2, die Schwerpunktabstände von den Drehpunkten s1 und s2 und den Abstand l1 der beiden Drehpunkte voneinander.

Die Bewegung soll durch die Funktionen φ1(t) und φ2(t) beschrieben werden, die für das Zeitintervall t = 0 ... 10 s zu berechnen sind.

Die Aufgabe wird im Lehrbuch "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" in den Kapiteln "Prinzipien der Mechanik" (Aufschreiben der Bewegungs-Differenzialgleichungen) und "Verifizieren von Computerrechnungen" (Diskussion der Ergebnisse) behandelt.

Doppelpendel, Anfangsauslenkung

Die gegebenen Werte gelten für zwei schlanke Stäbe gleicher Masse und gleicher Länge. Sie sollen aus der nebenstehend skizzierten Anfangslage ohne Anfangsgeschwindigkeiten freigelassen werden, so dass folgende Anfangsbedingungen gelten:

Doppelpendel, Anfangsbedingungen

Im oben genannten Lehrbuch wird die (nicht ganz einfache) Herleitung der Bewegungs-Differenzialgleichungen ausführlich beschrieben. Unter Verwendung der in der Aufgabenstellung skizzierten Koordinaten erhält man:

Bewegungs-Differenzialgleichungssystem für das Doppelpendel

Die Differenzialgleichungen sind in den Beschleunigungsgliedern (2. Ableitungen der Winkelkoordinaten) gekoppelt. Hier findet man die Aufbereitung des Problems unter diesem speziellen Gesichtspunkt und die komplette Rechnung mit dem Programm "Anfangswertproblem", die auf folgendes Ergebnis führt:

Ergebnisse in 4 Fenstern
φ1(t) (links oben), φ2(t) (links unten), Winkelgeschwindigkeiten ω1(t) und ω2(t) (rechts oben)
und als Kontrollfunktion (rechts unten) die Gesamtenergie
Laufkatze mit pendelnder Last

Beispiel 5: Eine Laufkatze (Masse mK) trägt eine Last (Masse einschließlich Anhängevorrichtung: mL, Massenträgheitsmoment bezüglich des Schwerpunktes S: JL). In der skizzierten Ruhelage beginnt für eine kurze Zeit Δt die konstante Antriebskraft F0 zu wirken, die danach wieder abgeschaltet wird. Nach dem Zurücklegen der Strecke a stößt die Laufkatze auf einen elastischen Puffer (Federzahl c).

Die Bewegung von Laufkatze und Last soll, beginnend aus der Ruhelage, für die ersten 10 Sekunden analysiert werden.

Gegeben:

mK = 100 kg ;  JL = 400 kgm2 ;  lS = 4 m ;  F0 = 2000 N ;
mL = 500 kg ;  c = 200000 N/m ;  Δt = 1 s ;  a = 5 m .

Die Aufgabe wird im Lehrbuch "Dankert/Dankert: Technische Mechanik" in den Kapiteln "Prinzipien der Mechanik" (Aufschreiben der Bewegungs-Differenzialgleichungen) und "Verifizieren von Computerrechnungen" (Diskussion der Ergebnisse) behandelt.

Generalisierte Koordinaten

Die Besonderheit dieser Aufgabe besteht in dem Eintreten von unterschiedlichen "Ereignissen" (Abschalten der Antriebskraft, Zu- und Abschalten einer Feder). Man erfasst sie, indem an die Stelle der Kraft F0 die zeitabhängige Kraft Ft tritt und die Federkonstante c durch ct ersetzt wird:

Zeitabhängige Antriebskraft, zeitabhängige Federzahl

Unter Verwendung der nebenstehend skizzierten Koordinaten gelten folgende Bewegungs-Differenzialgleichungen (die ausführlich kommentierte Herleitung findet man im Kapitel "Prinzipien der Mechanik"):

Bewegungs-Differenzialgleichungen

Dieses Differenzialgleichungssystem hat aus mathematischer Sicht alle denkbaren unangenehmen Eigenschaften: Es ist hochgradig nichtlinear, in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt, und es sind ein zeitabhängiges und ein wegabhängiges Ereignis zu berücksichtigen. Die Lösung kann nur numerisch gelingen.

Hier findet man die Aufbereitung des Problems und die komplette Rechnung mit dem Programm "Anfangswertproblem", die auf folgendes Ergebnis führt:

Ergebnisse in 4 Fenstern
x(t) (oben links und rechts), φ(t) (links unten) und als Kontrollfunktion (rechts unten) die Gesamtenergie